Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CAM^=30°. Chứng minh rằng: a) Tam giác CAM cân tại M; b) Tam giác BAM là tam giác đều; c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có ABC^+ACB^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau). Do đó ACB^=90°−ABC^=90°−60°=30°. ACM^=ACB^ nên ACM^=30°. Tam giác CAM có ACM^=CAM^=30° nên tam giác CAM cân tại M. Vậy tam giác CAM cân tại M. b) Có BAC^=BAM^+MAC^. Do đó BAM^=BAC^−MAC^=90°−30°=60°. ABM^=ABC^ nên ABM^=60°. Xét tam giác BAM có ABM^+BAM^+BMA^=180°. Do đó BMA^=180°−ABM^−BAM^=180°−60°−60°=60°. Tam giác BAM có ABM^=BAM^=BMA^=60° nên tam giác BAM là tam giác đều. Vậy tam giác BAM là tam giác đều. c) Do tam giác CAM cân tại M nên MA = MC (1). Do tam giác BAM là tam giác đều nên MA = MB (2). Từ (1) và (2) ta có MB = MC. Mà M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC. Vậy M là trung điểm của BC.

Câu hỏi:

11/07/2024 20,307

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = 60 ° .$ Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\hat{C A M} = 30 ° .$ Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAM cân tại M;

b) Tam giác BAM là tam giác đều;

c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chương IV có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60 độ. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 90 °$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - 60 ° = 30 ° .$

$\hat{A C M} = \hat{A C B}$ nên $\hat{A C M} = 30 ° .$

Tam giác CAM có $\hat{A C M} = \hat{C A M} = 30 °$ nên tam giác CAM cân tại M.

Vậy tam giác CAM cân tại M.

b) Có $\hat{B A C} = \hat{B A M} + \hat{M A C} .$

Do đó $\hat{B A M} = \hat{B A C} - \hat{M A C} = 90 ° - 30 ° = 60 ° .$

$\hat{A B M} = \hat{A B C}$ nên $\hat{A B M} = 60 ° .$

Xét tam giác BAM có $\hat{A B M} + \hat{B A M} + \hat{B M A} = 180 ° .$

Do đó $\hat{B M A} = 180 ° - \hat{A B M} - \hat{B A M} = 180 ° - 60 ° - 60 ° = 60 ° .$

Tam giác BAM có $\hat{A B M} = \hat{B A M} = \hat{B M A} = 60 °$ nên tam giác BAM là tam giác đều.

Vậy tam giác BAM là tam giác đều.

c) Do tam giác CAM cân tại M nên MA = MC (1).

Do tam giác BAM là tam giác đều nên MA = MB (2).

Từ (1) và (2) ta có MB = MC.

Mà M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.

Vậy M là trung điểm của BC.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A} = 120 ° .$ Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $Δ B A M = Δ C A N;$

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 120 độ. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC (ảnh 1)

a) Do $M A ⊥ A B, N A ⊥ A C$ nên tam giác BAM vuông tại A, tam giác CAN vuông tại A.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ hay $\hat{A B M} = \hat{A C N} .$

Xét hai tam giác BAM vuông tại A và CAN vuông tại A có:

$\hat{A B M} = \hat{A C N}$ (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

Vậy $Δ B A M = Δ C A N$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Xét tam giác ABC có: $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 180 ° .$

Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó $2 \hat{A B C} = 180 ° - \hat{B A C} = 180 ° - 120 ° = 60 ° .$

Do đó $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 30 ° .$

Do $Δ B A M = Δ C A N$ (chứng minh ở ý a) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng).

Do đó tam giác AMN cân tại A (1).

Xét tam giác CAN vuông tại A có $\hat{A N C} + \hat{A C N} = 90 °$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\hat{A N C} = 90 ° - \hat{A C N} = 90 ° - 30 ° = 60 ° .$

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều.

Do đó $\hat{M A N} = 60 ° .$

Ta có: $\hat{M A N} + \hat{N A B} = \hat{M A B}$

Suy ra $\hat{N A B} = \hat{M A B} - \hat{M A N} = 90 ° - 60 ° = 30 ° .$

Do đó $\hat{N A B} = \hat{A B N} = 30 ° .$

Suy ra tam giác ANB cân tại N.

Ta có: $\hat{M A N} + \hat{M A C} = \hat{N A C}$

Suy ra $\hat{M A C} = \hat{N A C} - \hat{M A N} = 90 ° - 60 ° = 30 ° .$

Do đó $\hat{M A C} = \hat{M C A} = 30 ° .$

Suy ra tam giác AMC cân tại M.

Câu 2

Trong Hình 4.77, có AO = BO, $\hat{O A M} = \hat{O B N} .$ Chứng minh rằng AM = BN.

Xem đáp án

Lời giải

Xét hai tam giác OAM và OBN có:

$\hat{O A M} = \hat{O B N}$ (theo giả thiết).

AO = BO (theo giả thiết).

$\hat{O}$ chung.

Do đó $Δ O A M = Δ O B N$ (g – c – g).

Vậy AM = BN (2 cạnh tương ứng).

Câu 3

Trong Hình 4.78, ta có AN = BM, $\hat{B A N} = \hat{A B M} .$ Chứng minh rằng $\hat{B A M} = \hat{A B N} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB bằng góc ANB.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong Hình 4.76, có AM = BM, AN = BN. Chứng minh rằng $\hat{M A N} = \hat{M B N} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính các số đo x, y trong các tam giác dưới đây (H.4.75).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CAM^=30°. Chứng minh rằng: a) Tam giác CAM cân tại M; b) Tam giác BAM là tam giác đều; c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Bình luận

Cho tam giác ABC cân tại A có A^=120°. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) ΔBAM=ΔCAN; b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Trong Hình 4.77, có AO = BO, OAM^=OBN^. Chứng minh rằng AM = BN.

Trong Hình 4.78, ta có AN = BM, BAN^=ABM^. Chứng minh rằng BAM^=ABN^.

Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB bằng góc ANB.

Trong Hình 4.76, có AM = BM, AN = BN. Chứng minh rằng MAN^=MBN^.

Tính các số đo x, y trong các tam giác dưới đây (H.4.75).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = 60 ° .$ Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\hat{C A M} = 30 ° .$ Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAM cân tại M;

b) Tam giác BAM là tam giác đều;

c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A} = 120 ° .$ Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $Δ B A M = Δ C A N;$

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Trong Hình 4.77, có AO = BO, $\hat{O A M} = \hat{O B N} .$ Chứng minh rằng AM = BN.

Trong Hình 4.78, ta có AN = BM, $\hat{B A N} = \hat{A B M} .$ Chứng minh rằng $\hat{B A M} = \hat{A B N} .$

Trong Hình 4.76, có AM = BM, AN = BN. Chứng minh rằng $\hat{M A N} = \hat{M B N} .$