Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 1; ${\int }_0^1{[f\text{'}(x\left)\right]}^{2}dx = 9$ và ${\int }_0^1{x}^{3}f\left(x\right)dx = \frac{1}{2}$ Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$, trục Ox và hai đường thẳng x=1; x=4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

Cho hàm số y =f(x) thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin xf\left(x\right)dx = f\left(0\right) = 1$Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos x.f\text{'}\left(x\right)dx$

Cho ${\int }_1^{2}f(x^2+1)dx = 2$ Khi đó $I = {\int }_2^{5}f\left(x\right)dx$bằng

Cho $I = {\int }_1^e\frac{\ln x}{x{(\ln x + 2)}^2}dx$ có kết quả I = lna +b với $a>0; b\in \mathrm{ℝ}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Biết ${\int }_1^2\frac{x}{3x+\sqrt{9x^2-1}}dx = a+b\sqrt{2}+c\sqrt{35}$ với a, b, c là các số hữu tỉ, tính P = a+2b+c-7

Giả sử $\int \frac{2x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3) + 1}dx =-\frac{1}{g\left(x\right)}+C$ (C là hằng số). Tính tổng của các nghiệm của phương trình g(x) = 0

Tích phân $I = {\int }_0^1{e}^{2x}dx$ bằng