Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao. a) Chứng minh SBDESBAC=BD.BEBA.BC . b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = 22 . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có: SBDE=12.BD.BE.sinB SABC=12.BA.BC.sinB Suy ra SBDESBAC=12BD.BE.sinB12BA.BC.sinB=BD.BEBA.BC Vậy SBDESBAC=BD.BEBA.BC b) Từ SABC = 9SBDE ⇒ SBDESBAC=BD.BEBA.BC=19 Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = BEBC . Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = BDAB . Suy ra cos2B = BEBC. BDAB = BD.BEBA.BC=19 ⇒cosB=±13 Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = 13. Mà sin2B + cos2B = 1, suy ra sinB = 1−cos2B=1−(13)2=223 Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có: BEBC= BDAB= 13(cùng bằng cosB) Góc B chung Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k =13 . ⇒ DEAC=13⇒AC=3DE=3.22=62 Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có: ACsinB=2R; DEsinB=2R'⇒R'=DE2sinB=222.223=32(R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE). ⇒ RR'=ACDE=6222=3 ⇒ R = 3R' = 3.32=92 Vậy cosB = 13 ; R = 92 .

Câu hỏi:

12/07/2024 12,262

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$ .

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = $2 \sqrt{2}$ . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Định lí côsin và định lí sin có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

$S_{B D E} = \frac{1}{2} . B D . B E . \sin B$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . B A . B C . \sin B$

Suy ra $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{\frac{1}{2} B D . B E . \sin B}{\frac{1}{2} B A . B C . \sin B} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$

Vậy $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$

b) Từ S_ABC = 9S_BDE ⇒ $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C} = \frac{1}{9}$

Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = $\frac{B E}{B C}$ .

Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = $\frac{B D}{A B}$ .

Suy ra cos²B = $\frac{B E}{B C}$ . $\frac{B D}{A B}$ = $\frac{B D . B E}{B A . B C} = \frac{1}{9}$

$\Rightarrow \cos B = \pm \frac{1}{3}$

Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = $\frac{1}{3}$ .

Mà sin²B + cos²B = 1, suy ra sinB =

$\sqrt{1 - \cos^{2} B} = \sqrt{1 - {(\frac{1}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:

$\frac{B E}{B C}$ = $\frac{B D}{A B}$ = $\frac{1}{3}$ (cùng bằng cosB)

Góc B chung

Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k = $\frac{1}{3}$ .

⇒ $\frac{D E}{A C} = \frac{1}{3} \Rightarrow A C = 3 D E = 3.2 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$

Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:

$\frac{A C}{\sin B} = 2 R$ ; $\frac{D E}{\sin B} = 2 R' \Rightarrow R' = \frac{D E}{2 \sin B} = \frac{2 \sqrt{2}}{2. \frac{2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{3}{2}$ (R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).

⇒

\frac{R}{R'} = \frac{A C}{D E} = \frac{6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = 3

⇒ R = 3R' = $3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Vậy cosB = $\frac{1}{3}$ ; R = $\frac{9}{2}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S = \frac{1}{2} . A C . A B . \sin A = \frac{1}{2} .6.8. \sin 60^{o} = \frac{1}{2} .6.8. \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \approx 20, 8$

Vậy diện tích tam giác ABC là 20,8 (đơn vị diện tích).

b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 6² + 8² – 2.6.8.cos60° = 52

⇒ BC = $\sqrt{52}$ ≈ 7,2.

Mặt khác diện tích tam giác ABC:

$S = \frac{A B . A C . B C}{4 R} \Rightarrow R = \frac{A B . A C . B C}{4 S} = \frac{6.8. \sqrt{52}}{4.12 \sqrt{3}} \approx 4, 2$

Media VietJack

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có IA = IB = IC = R = 4,2.

Nửa chu vi của tam giác IBC:

$p = \frac{I B + I C + B C}{2} = \frac{4, 2 + 4, 2 + 7, 2}{2} = 7, 8$

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác IBC:

$S = \sqrt{7, 8. (7, 8 - 4, 2) . (7, 8 - 4, 2) . (7, 8 - 7, 2)} \approx \sqrt{60, 7} \approx 7, 8$

Vậy diện tích tam giác IBC là 7,8 (đơn vị diện tích).

Câu 2

Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{500^{2} + 700^{2} - 800^{2}}{2.500.700} \approx 0, 143$

⇒ $\hat{A}$ ≈ 82°.

$\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{500^{2} + 800^{2} - 700^{2}}{2.500.800} = 0, 5$

⇒ $\hat{B}$ = 60°.

Tam giác ABC có

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (82^{o} + 60^{o}) = 38^{o}$

Vậy các góc của tam giác ABC là: $\hat{A}$ ≈ 82°, $\hat{B}$ = 60°; $\hat{C}$ = 38°.

Câu 3

Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48° và 105° (Hình 12).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn ?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\hat{B} = 79^{o}, \hat{C} = 61^{o}$ . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$ .

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = $2 \sqrt{2}$ . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\hat{B} = 79^{o}, \hat{C} = 61^{o}$ . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.