Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao. a) Chứng minh SBDESBAC=BD.BEBA.BC . b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = 22 . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có: SBDE=12.BD.BE.sinB SABC=12.BA.BC.sinB Suy ra SBDESBAC=12BD.BE.sinB12BA.BC.sinB=BD.BEBA.BC Vậy SBDESBAC=BD.BEBA.BC b) Từ SABC = 9SBDE ⇒ SBDESBAC=BD.BEBA.BC=19 Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = BEBC . Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = BDAB . Suy ra cos2B = BEBC. BDAB = BD.BEBA.BC=19 ⇒cosB=±13 Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = 13. Mà sin2B + cos2B = 1, suy ra sinB = 1−cos2B=1−(13)2=223 Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có: BEBC= BDAB= 13(cùng bằng cosB) Góc B chung Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k =13 . ⇒ DEAC=13⇒AC=3DE=3.22=62 Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có: ACsinB=2R; DEsinB=2R'⇒R'=DE2sinB=222.223=32(R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE). ⇒ RR'=ACDE=6222=3 ⇒ R = 3R' = 3.32=92 Vậy cosB = 13 ; R = 92 .

Câu hỏi:

12/07/2024 8,008

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$ .

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = $2 \sqrt{2}$ . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Định lí côsin và định lí sin có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

$S_{B D E} = \frac{1}{2} . B D . B E . \sin B$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . B A . B C . \sin B$

Suy ra $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{\frac{1}{2} B D . B E . \sin B}{\frac{1}{2} B A . B C . \sin B} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$

Vậy $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$

b) Từ S_ABC = 9S_BDE ⇒ $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C} = \frac{1}{9}$

Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = $\frac{B E}{B C}$ .

Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = $\frac{B D}{A B}$ .

Suy ra cos²B = $\frac{B E}{B C}$ . $\frac{B D}{A B}$ = $\frac{B D . B E}{B A . B C} = \frac{1}{9}$

$\Rightarrow \cos B = \pm \frac{1}{3}$

Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = $\frac{1}{3}$ .

Mà sin²B + cos²B = 1, suy ra sinB =

$\sqrt{1 - \cos^{2} B} = \sqrt{1 - {(\frac{1}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:

$\frac{B E}{B C}$ = $\frac{B D}{A B}$ = $\frac{1}{3}$ (cùng bằng cosB)

Góc B chung

Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k = $\frac{1}{3}$ .

⇒ $\frac{D E}{A C} = \frac{1}{3} \Rightarrow A C = 3 D E = 3.2 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$

Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:

$\frac{A C}{\sin B} = 2 R$ ; $\frac{D E}{\sin B} = 2 R' \Rightarrow R' = \frac{D E}{2 \sin B} = \frac{2 \sqrt{2}}{2. \frac{2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{3}{2}$ (R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).

⇒

\frac{R}{R'} = \frac{A C}{D E} = \frac{6 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = 3

⇒ R = 3R' = $3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Vậy cosB = $\frac{1}{3}$ ; R = $\frac{9}{2}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S = \frac{1}{2} . A C . A B . \sin A = \frac{1}{2} .6.8. \sin 60^{o} = \frac{1}{2} .6.8. \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \approx 20, 8$

Vậy diện tích tam giác ABC là 20,8 (đơn vị diện tích).

b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 6² + 8² – 2.6.8.cos60° = 52

⇒ BC = $\sqrt{52}$ ≈ 7,2.

Mặt khác diện tích tam giác ABC:

$S = \frac{A B . A C . B C}{4 R} \Rightarrow R = \frac{A B . A C . B C}{4 S} = \frac{6.8. \sqrt{52}}{4.12 \sqrt{3}} \approx 4, 2$

Media VietJack

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có IA = IB = IC = R = 4,2.

Nửa chu vi của tam giác IBC:

$p = \frac{I B + I C + B C}{2} = \frac{4, 2 + 4, 2 + 7, 2}{2} = 7, 8$

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác IBC:

$S = \sqrt{7, 8. (7, 8 - 4, 2) . (7, 8 - 4, 2) . (7, 8 - 7, 2)} \approx \sqrt{60, 7} \approx 7, 8$

Vậy diện tích tam giác IBC là 7,8 (đơn vị diện tích).

Câu 2

Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{500^{2} + 700^{2} - 800^{2}}{2.500.700} \approx 0, 143$

⇒ $\hat{A}$ ≈ 82°.

$\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{500^{2} + 800^{2} - 700^{2}}{2.500.800} = 0, 5$

⇒ $\hat{B}$ = 60°.

Tam giác ABC có

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (82^{o} + 60^{o}) = 38^{o}$

Vậy các góc của tam giác ABC là: $\hat{A}$ ≈ 82°, $\hat{B}$ = 60°; $\hat{C}$ = 38°.

Câu 3

Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48° và 105° (Hình 12).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn ?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\hat{B} = 79^{o}, \hat{C} = 61^{o}$ . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao. a) Chứng minh SBDESBAC=BD.BEBA.BC . b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = 22 . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và A^=60o . a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) Các cạnh b = 14, c = 35 và A^=60o . b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cánh buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 48° và 105° (Hình 12).

Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.

Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, B^=79o,C^=61o . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$ .

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = $2 \sqrt{2}$ . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\hat{B} = 79^{o}, \hat{C} = 61^{o}$ . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.