Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.

a) Tam giác ABC có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Ta có tam giác ABP và tam giác ABQ là các tam giác vuông tại B.

Trong tam giác ABP vuông tại B ta có:

tan $\widehat{BPA}$ = $\frac{AB}{PB}=\frac{AB}{PQ+QB}=\frac{AB}{300+QB}$ .

Suy ra : tan35° = $\frac{AB}{300+QB}$ ⇒ AB = (300 + QB).tan35°            (1)

Trong tam giác ABQ vuông tại B ta có: tan $\widehat{BQA}$ = $\frac{AB}{QB}$

Suy ra : tan48° =  $\frac{AB}{QB}$ ⇒ AB = QB.tan48°                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra : (300 + QB).tan35°  = QB.tan48°

⇒ QB = $\frac{300.\tan {35}^o}{\tan {48}^o-\tan {35}^o}$  ≈ 511,8.

⇒ AB = QB.tan48^o  ≈ 511,8.tan 48° ≈ 568,4.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 568,4 m.

Do phương nằm ngang hợp với phương thẳng đứng của tháp góc 90° nên hai tam giác DC₁A₁ và DC₁B₁ là hai tam giác vuông tại C₁.

Tam giác DC₁A₁ có : tan49° = $\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1}$

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49°         (1).

Tam giác DC₁B₁ có :

tan35° =  $\frac{D{C}_1}{C_1{B}_1}=\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1+A_1{B}_1}=\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1+12}$

⇒ DC₁ = (C₁A₁ + 12). tan35° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°              (2).

Từ (1) và (2) suy ra: C₁A₁tan49° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°

⇒ C₁A₁ = $\frac{12\tan {35}^o}{\tan {49}^o-\tan {35}^o}$≈ 18,7.

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49° ≈ 18,7.tan49° ≈ 21,5.

Mà DC = DC₁ + C₁C = 21,5 + 1,2 = 22,7.

Vậy chiều cao của tháp CD khoảng 22,7 m.