Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc $\widehat{BPA}={35}^o$ và $\widehat{BQA}={48}^o$ . Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Do phương nằm ngang hợp với phương thẳng đứng của tháp góc 90° nên hai tam giác DC₁A₁ và DC₁B₁ là hai tam giác vuông tại C₁.

Tam giác DC₁A₁ có : tan49° = $\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1}$

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49°         (1).

Tam giác DC₁B₁ có :

tan35° =  $\frac{D{C}_1}{C_1{B}_1}=\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1+A_1{B}_1}=\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1+12}$

⇒ DC₁ = (C₁A₁ + 12). tan35° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°              (2).

Từ (1) và (2) suy ra: C₁A₁tan49° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°

⇒ C₁A₁ = $\frac{12\tan {35}^o}{\tan {49}^o-\tan {35}^o}$≈ 18,7.

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49° ≈ 18,7.tan49° ≈ 21,5.

Mà DC = DC₁ + C₁C = 21,5 + 1,2 = 22,7.

Vậy chiều cao của tháp CD khoảng 22,7 m.

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA = 8² + 5² – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = $\sqrt{129}\approx 11,4$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{11,4^2+5^2-8^2}{2.11,4.5}\approx 0,798$

⇒ $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({120}^o+{37}^{o}4\text{'})={22}^{o}56\text{'}$

Vậy a ≈ 11,4; $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$ ; $\widehat{B}={22}^{o}56\text{'}$ .

b) Nửa chu vi tam giác ABC là :

 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{11,4+8+5}{2}=12,2$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\sqrt{12,2.(12,2-11,4).(12,2-8).(12,2-5)}=\sqrt{295,1}\approx 17,2$

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC: 

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{11,\mathrm{4.8.5}}{4.17,2}\approx 6,6$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi h_a là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là h_a = AH.

Khi đó $S=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2.17,2}{11,4}\approx 3$

⇒ AH = h_a ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.