Bài tập cuối chương IV có đáp án

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:

AM² = AC² + CM² – 2.AC.CM.cosC = 10² + 4² – 2.10.4.cos91°47'26" = 118,5

⇒ AM ≈ 10,9.

Nửa chu vi của tam giác ABC là :

 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+10+13}{2}=15,5$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15,5.(15,5-8).(15,5-10).(15,5-13)}\approx 40$

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{8.10.13}}{4.40}=6,5$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.

c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.

Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{10}^2+{13}^2-8^2}{\mathrm{2.10.13}}=\frac{205}{260}=\frac{41}{52}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = 20² + 13² – 2.20.13.$\frac{41}{52}$ = 159

⇒ BD =  $\sqrt{159}$≈ 12,6.

Vậy BD ≈ 12,6.

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA = 8² + 5² – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = $\sqrt{129}\approx 11,4$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{11,4^2+5^2-8^2}{2.11,4.5}\approx 0,798$

⇒ $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({120}^o+{37}^{o}4\text{'})={22}^{o}56\text{'}$

Vậy a ≈ 11,4; $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$ ; $\widehat{B}={22}^{o}56\text{'}$ .

b) Nửa chu vi tam giác ABC là :

 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{11,4+8+5}{2}=12,2$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\sqrt{12,2.(12,2-11,4).(12,2-8).(12,2-5)}=\sqrt{295,1}\approx 17,2$

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC: 

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{11,\mathrm{4.8.5}}{4.17,2}\approx 6,6$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi h_a là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là h_a = AH.

Khi đó $S=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2.17,2}{11,4}\approx 3$

⇒ AH = h_a ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD; AB = DC,

Và AB // CD nên $\widehat{A}+\widehat{D}={180}^o\Rightarrow \widehat{D}={180}^o-\widehat{A}$  suy ra cosD = cos(180 – A)= – cosA.

Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác ABD và ADC ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = BC² + AB² – 2.BC.AB.cosA

AC² = AD² + DC² – 2.AD.DC.cosD = BC² + AB² + 2.BC.AB.cosA

Khi đó : BD² + AC² = 2AB² + 2BC² = 2(AB² + BC²).

Vậy 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Thay AB = 4, BC = 5, BD = 7 vào biểu thức 2(AB² + BC²) = AC² + BD² ta được:

2.(4² + 5²) = AC² + 7² ⇒ AC² = 2.(4² + 5²) – 7² = 33

⇒ AC = $\sqrt{33}\approx 5,7$

Vậy AC ≈ 5,7.