Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BCD}$=120$°$ và AA'=$\frac{7\alpha }{2}$ Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' 

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\frac{AP}{AB}=\frac{1}{3}$. Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính $\frac{SQ}{SC}$

Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất l của cây cầu gần nhất với so nào dưới đây biết.

- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O;

- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;

- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;

- Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP 

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60°$. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD

Gọi V là thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, V₁ là thể tích của khối tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, $\widehat{BAC} =30°$. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.