Câu hỏi:

14/06/2022 345

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx với mọi n*.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1 ta có (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x.              Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: (1 + x)k ≥ 1+ kx.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (1 + x)k + 1 ≥ 1+ (k + 1)x.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

(1 + x)k + 1

= (1 + x)(1 + x)k ≥ (1 + x)(1+ kx) = 1 + x + kx + kx2 > 1 + x + kx = 1+ (k + 1)x.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n 1.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng n3 + 2n chia hết cho 3 với mọi n*.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,287

Câu 2:

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n*:

a) 1.2+2.3+3.4++n.(n+1)=n(n+1)(n+2)3;

b) 1+4+9++n2=n(n+1)(2n+1)6;

c) 1+2+22+23+24++2n1=2n1.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,022

Câu 3:

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n*:

1+q+q2+q3+q4++qn1=1qn1q(q1).

Xem đáp án » 12/07/2024 3,050

Câu 4:

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,810

Câu 5:

Chứng minh rằng, với mọi n*, ta có:

a) 52n – 1 chia hết cho 24;

b) n3 + 5n chia hết cho 6.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,513

Câu 6:

(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi Tn là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ n(n*).

a) Tính T1, T2, T3.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính Tn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 11/07/2024 2,131

Câu 7:

Trong mặt phẳng, cho đa giác A1 A2 A3... An có n cạnh (n ≥ 3). Gọi Sn là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính S3, S4, S5 tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính Sn và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,984
Vietjack official store