Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: an+bn2≥(a+b2)n.

Câu hỏi:

14/06/2022 967

Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ *$ :

$\frac{a^{n} + b^{n}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{n} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{a^{1} + b^{1}}{2} = \frac{a + b}{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{1} .$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{a^{k} + b^{k}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{k} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{k + 1} .$

Ta có:

Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk

=> (ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)

=> 2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)

$\Rightarrow \frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq \frac{(a + b)}{2} . \frac{(a^{k} + b^{k})}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq \frac{a + b}{2} . \frac{a^{k} + b^{k}}{2} \geq \frac{a + b}{2} . {(\frac{a + b}{2})}^{k} = {(\frac{a + b}{2})}^{k + 1} .$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 2 . 1 = 3 ⁝ 3. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 2k ⁝ 3.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

(k + 1)³ + 2(k + 1) ⁝ 3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

(k + 1)³ + 2(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 2k + 2 = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

Vì (k³ + 2k) và (3k² + 3k + 3) đều chia hết cho 3 nên (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3) ⁝ 3 hay (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 2

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :

a) $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + n . (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3};$

b) $1 + 4 + 9 + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ;

c) $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1 (1 + 1) (1 + 2)}{3} .$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + k . (k + 1) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + k . (k + 1) + (k + 1) [(k + 1) + 1] = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2]}{3} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + k . (k + 1) + (k + 1) [(k + 1) + 1]$

$= \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + (k + 1) (k + 2)$

$= \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + \frac{3 (k + 1) (k + 2)}{3}$

$= \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{3}$

$= \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2]}{3} .$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = $\frac{1 (1 + 1) (2.1 + 2)}{6} .$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + 4 + 9 + \dots + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1 + 4 + 9 + \dots + k^{2} + {(k + 1)}^{2} = \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]}{6} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + 4 + 9 + \dots + k^{2} + {(k + 1)}^{2}$

$= \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2}$

$= \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{6 {(k + 1)}^{2}}{6}$

$= \frac{k + 1}{6} [k (2 k + 1) + 6 (k + 1)]$

$= \frac{k + 1}{6} [2 k^{2} + 7 k + 6]$

$= \frac{k + 1}{6} (k + 2) (2 k + 3)$

$= \frac{k + 1}{6} [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]$

= \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]}{6} .

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{k - 1} + 2^{(k + 1) - 1} = 2^{k + 1} - 1.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{k - 1} + 2^{(k + 1) - 1}$

$= (2^{k} - 1) + 2^{(k + 1) - 1}$

$= 2^{k} - 1 + 2^{k}$

$= {2.2}^{k} - 1$

$= 2^{k + 1} - 1.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Câu 3