Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: an+bn2≥(a+b2)n.

Câu hỏi:

14/06/2022 534

Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ *$ :

$\frac{a^{n} + b^{n}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{n} .$

Câu hỏi trong đề: Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{a^{1} + b^{1}}{2} = \frac{a + b}{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{1} .$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{a^{k} + b^{k}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{k} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{k + 1} .$

Ta có:

Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk

=> (ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)

=> 2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)

$\Rightarrow \frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq \frac{(a + b)}{2} . \frac{(a^{k} + b^{k})}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq \frac{a + b}{2} . \frac{a^{k} + b^{k}}{2} \geq \frac{a + b}{2} . {(\frac{a + b}{2})}^{k} = {(\frac{a + b}{2})}^{k + 1} .$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 8,572

Câu 2:

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :

a) $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + n . (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3};$

b) $1 + 4 + 9 + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ;

c) $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 3,955

Câu 3:

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :
$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} (q \neq 1) .$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,144

Câu 4:

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,140

Câu 5:

Chứng minh rằng, với mọi $n \in ℕ^{*}$ , ta có:

a) 52n – 1 chia hết cho 24;

b) n3 + 5n chia hết cho 6.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,901

Câu 6:

Trong mặt phẳng, cho đa giác A₁ A₂ A₃... A_n có n cạnh (n ≥ 3). Gọi S_n là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính S₃, S₄, S₅ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính S_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 12/07/2024 1,648

Câu 7:

(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi T_n là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ $n (n \in ℕ^{*})$ .

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xem đáp án » 11/07/2024 1,608

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: an+bn2≥(a+b2)n.

Nhà sách VIETJACK:

Chứng minh rằng n3 + 2n chia hết cho 3 với mọi n∈ℕ*.

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ℕ*: a) 1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)=n(n+1)(n+2)3; b) 1+4+9+…+n2=n(n+1)(2n+1)6; c) 1+2+22+23+24+…+2n−1=2n−1.

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi n∈ℕ*: 1+q+q2+q3+q4+…+qn−1=1−qn1−q (q≠1).

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.

Chứng minh rằng, với mọi n∈ℕ*, ta có: a) 52n – 1 chia hết cho 24; b) n3 + 5n chia hết cho 6.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ *$ :

$\frac{a^{n} + b^{n}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{n} .$

Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :

a) $1.2 + 2.3 + 3.4 + \dots + n . (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3};$

b) $1 + 4 + 9 + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ;

c) $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$ .

Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ :
$1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots + q^{n - 1} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} (q \neq 1) .$

Chứng minh rằng, với mọi $n \in ℕ^{*}$ , ta có:

a) 52n – 1 chia hết cho 24;

b) n3 + 5n chia hết cho 6.