Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi T_n (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học

Hướng dẫn giải

a)

– T₁ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

T₁ = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

– T₂ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

T₂ = T₁ + T₁ . r + a

= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].

– T₃ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

T₃ = T₂ + T₂ . r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

T_n = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có:

T₁ = a[(1 + r) + 1]

$=a.\frac{r^2+2r}{r}=a.\frac{(r^2+2r+1)-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^2-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^{1+1}-1}{r}.$                                                                                                 

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T_k = $a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T_{k + 1} = $a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+1}-1}{r}.$

Thật vậy,

T_{k + 1} = T_k + T_k . r + a

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+a$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+1]$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{[{(1+r)}^{k+1}-1]r}{r}+\frac{r}{r}]$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+[{(1+r)}^{k+1}-1]r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}-r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}}{r}$

$=a.\frac{(1+r){(1+r)}^{k+1}-1}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+2}-1}{r}$

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.