Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  $d:\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}$ và mặt cầu $\left(S\right):{(x-3)}^2+{(y-2)}^2+{(z-5)}^2=36$ . Gọi Δ là đường thẳng đi qua  vuông góc với đường thẳng (d) và cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng Δ có một vécơt chỉ phương là $\overrightarrow{u}(1;a;b)$  . Tính a+b  .

Đáp án D

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $d\Rightarrow \overrightarrow{n_p}=\overrightarrow{u_d}=(2;2;-1)$ .

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):2(x-2)+2(y-1)-1(z-3)=0\iff 2\text{x}+2y-z-3=0$  .

Δ là đường thẳng đi qua $A(2;1;3)$   vuông góc với đường thẳng $\left(d\right)\Rightarrow \Delta \subset \left(P\right)$ .

Để  $\left(\Delta \right)$ cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất $\Rightarrow \Delta$  là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và $\left(S\right)\Rightarrow J$ là hình chiếu của I(3;2;5) là tâm của  (S) trên (P)

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $\left(P\right)\Rightarrow d^{\text{'}}:\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=2+2t\\ z=5-t\end{array}$

$J\in \Rightarrow J(3+2t;2+2t;5-t)$

$J\in \left(P\right)\Rightarrow 2(3+2t)+2(2+2t)-(5-t)-3=0$

$\iff 9t+2=0\iff t=-\frac{2}{9}\Rightarrow J(\frac{23}{9};\frac{14}{9};\frac{47}{9})$

Δ đi qua $J,A\Rightarrow \Delta$  nhận $\overrightarrow{J\text{A}}=(-\frac{5}{9};-\frac{5}{9};-\frac{20}{9})=-\frac{5}{9}(1;1;4)$  là 1 véctơ chỉ phương. 

 $\Rightarrow \overrightarrow{u}=(1;1;4)$cũng là 1 véctơ chỉ phương của $\overrightarrow{J\text{A}}=\Delta \Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ b=4\end{array}\Rightarrow a+b=1+4=5$  .