Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] , thỏa mãn f(0)=1 và 3∫01[f'(x).f2(x)+19]dx=2∫01f'(x).f(x)dx . Tính I=∫01f3(x)dx. A. I=32. B. I=54. C. I=56. D. I=76.

Đáp án D Giả thiết tương đương với 3∫01[f'(x).f(x)]2dx+13=2∫01f'(x).f(x)dx . ⇔∫01[3f'(x).f(x)]2dx−2∫013f'(x).f(x)dx+∫01dx=0⇔∫01[3f'(x).f(x)−1]2dx=0⇔3f'(x).f(x)=1,∀x∈[0;1]⇔9f'(x).f2(x)=1 hay 9∫f2(x)d(f(x))dx=∫dx⇒3f3(x)=x+C. Do f(0)=1 , nên ta có: 3f3(0)=0+C⇔C=3 . Vậy f3(x)=13x+1⇒∫01f3(x)dx=76 .

Câu hỏi:

15/06/2022 197

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn $[0; 1]$ , thỏa mãn $f (0) = 1$ và $3 \int_{0}^{1} [f' (x) . f^{2} (x) + \frac{1}{9}] d x = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} . f (x) d x$ . Tính $I = \int_{0}^{1} f^{3} (x) d x .$

I = \frac{3}{2} .

I = \frac{5}{4} .

I = \frac{5}{6} .

I = \frac{7}{6} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Giả thiết tương đương với $3 \int_{0}^{1} {[\sqrt{f' (x)} . f (x)]}^{2} d x + \frac{1}{3} = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} . f (x) d x$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[3 \sqrt{f' (x)} . f (x)]}^{2} d x - 2 \int_{0}^{1} 3 \sqrt{f' (x)} . f (x) d x + \int_{0}^{1} d x = 0 \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[3 \sqrt{f' (x)} . f (x) - 1]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{f' (x)} . f (x) = 1, \forall x \in [0; 1] \Leftrightarrow 9 f' (x) . f^{2} (x) = 1 \end{array}$

hay $9 \int f^{2} (x) d (f (x)) d x = \int d x \Rightarrow 3 f^{3} (x) = x + C$ .

Do $f (0) = 1$ , nên ta có: $3 f^{3} (0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 3$ .

Vậy $f^{3} (x) = \frac{1}{3} x + 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} f^{3} (x) d x = \frac{7}{6}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + y - z - 4 = 0$ và điểm $A (2; - 1; 3)$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua A và song song với (P), biết $Δ$ có một vectơ chỉ phương là đồng thời $Δ$ đồng phẳng và không song song với Oz. Tính $\frac{a}{c}$ .

- \frac{1}{2} .

\frac{1}{2} .

C. 2.

D. -2

Lời giải

Đáp án C

$Δ$ đồng phẳng và không song song với Oz, suy ra $Δ \cap O z$ .

Giả sử $Δ \cap O z = B (0; 0; b)$

$\Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 1; b - 3)$ là 1 vectơ chỉ phương của .

$\vec{n_{P}} = (1; 1; - 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của .

Do $Δ / / (P) \Rightarrow \vec{A B} . \vec{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 1 - b + 3 = 0 \Leftrightarrow b = 2$ .

$\Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 1; - 1) \Rightarrow {\begin{cases} a = - 2 \\ b = 1 \\ c = - 1 \end{cases} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{- 2}{- 1} = 2.$

Câu 2

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , tam giác ABC đều AB=a ; góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC.

\frac{a^{3}}{16} .

\frac{a^{3}}{4} .

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

D. $\frac{a^{3}}{8} .$

Lời giải

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , tam giác ABC đều AB=a ; góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC. (ảnh 1)

Ta có: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °$ .

Xét tam giác vuông SAB: $S A = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4} .$

Ta có: $\frac{V_{S M N C}}{V_{S A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S M N C} = \frac{a^{3}}{16} .$

Câu 3

Cho hàm số $y = | x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + m |$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để $\min_{[- 1; 2]} y + \max_{[- 1; 2]} y = 20$ là:

A. -10

B. -4

C. 20.

D. -21

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 độ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

a \sqrt{2} .

\frac{3 a \sqrt{2}}{2} .

\frac{3 a \sqrt{2}}{4} .

a \sqrt{6} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(f(x)+m)=0 có 3 nghiệm phân biệt.

A. 4.

B. 1.

C. 2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

y = \frac{2 x + 1}{x - 1} .

y = \frac{2 x - 1}{x - 1} .

y = \frac{2 x - 1}{x + 1} .

y = \frac{2 x + 1}{x + 1} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $6,13 m^{2}$ . Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón lá giống nhau có đường kính vành nón là 50 cm, chiều cao 30 cm thì cần khối lượng lá gần nhất với con số nào dưới đây? (coi mỗi chiếc nón là có hình dạng là 1 hình nón).

A. 48 kg.

B. 38 kg.

C. 50 kg.

D. 58 kg.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] , thỏa mãn f(0)=1 và 3∫01[f'(x).f2(x)+19]dx=2∫01f'(x).f(x)dx . Tính I=∫01f3(x)dx.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+y−z−4=0 và điểm A(2;−1;3) . Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và song song với (P), biết Δ có một vectơ chỉ phương là đồng thời Δđồng phẳng và không song song với Oz. Tính ac .

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , tam giác ABC đều AB=a ; góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC.

Cho hàm số y=|x4−2x3+x2+m| . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để min[−1;2]y+max[−1;2]y=20 là:

Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 độ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(f(x)+m)=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn $[0; 1]$ , thỏa mãn $f (0) = 1$ và $3 \int_{0}^{1} [f' (x) . f^{2} (x) + \frac{1}{9}] d x = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} . f (x) d x$ . Tính $I = \int_{0}^{1} f^{3} (x) d x .$

Cho hàm số $y = | x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + m |$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để $\min_{[- 1; 2]} y + \max_{[- 1; 2]} y = 20$ là: