Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:

a) 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.

b) 13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23.

a) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{6+8+3+4+5+6+7+2+4}{9}=5$.

Phương sai mẫu số liệu là:

$S^2=\frac{1}{9}$(6² + 8² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 2² + 4²) – 5² = $\frac{10}{3}$.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{10}{3}}=\frac{\sqrt{30}}{3}$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 8 – 2 = 6.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 4; 4. Do đó Q₁ = 3,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 6; 6; 7; 8. Do đó Q₃ = 6,5.

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 6,5 – 3,5 = 3.

Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 6,5 + 1,5 . 3 = 11 và Q₁ – 1,5∆_Q = 3,5 – 1,5 . 3 = – 1.

Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.

b)

Số trung bình:

$\overline{x}=\frac{13+37+64+12+26+43+29+23}{8}=30,875$.

Phương sai mẫu số liệu là:

$S^2=\frac{1}{8}$(13² + 37² + 64² + 12² + 26² + 43² + 29² + 23²) – (30,875)² ≈ 255,86.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{255,86}\approx 16$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 64 – 12 = 52.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = $\frac{1}{2}(26+29)=27,5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 12; 13; 23; 26. Do đó Q₁ = 18.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 29; 37; 43; 64. Do đó Q₃ = 40.

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 40 – 18 = 22.

Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 40 + 1,5 . 22 = 73 và Q₁ – 1,5∆_Q = 18 – 1,5 . 22 = – 15.

Do đó mẫu số liệu không có giá trị ngoại lệ.