Sản lượng lúa các năm từ 2014 đến 2018 của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị: nghìn tấn).

 

a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.

b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

3; 3; 9; 9; 10; 10; 12; 12; 37.

+ Vì cỡ mẫu là n = 9 lá số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 10.

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 3; 9; 9. Do đó Q₁ = 6.

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 12; 12; 37. Do đó Q₃ = 12.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 12 – 6 = 6.

Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 12 + 1,5 . 6 = 21 và Q₁ – 1,5∆_Q = 6 – 1,5 . 6 = – 3.

Do đó mẫu có một giá trị ngoại lệ là 37.

a)

* Nhà máy A:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng:

$\overline{x_A}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$.

+ Giá trị 4 và 5 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy A là 4 và 5.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q_2A = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 4; 4; 4; 5. Do đó Q_1A = 4.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 6; 47. Do đó Q_3A = 5,5.

+ Phương sai mẫu:

$S_A^2=\frac{1}{8}$(4² + 5² + 5² + 47² + 5² + 6² + 4² + 4²) – 10² = 196.

+ Độ lệch chuẩn: S_A = $\sqrt{S_A^2}=\sqrt{196}=14$.

* Nhà máy B:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng:

$\overline{x_B}=\frac{2+9+9+8+10+9+9+11+9}{9}\approx 8,4$.

+ Giá trị 9 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy B là 9.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2B = 9.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 8; 9; 9. Do đó Q_1B = 8,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 9; 10; 11. Do đó Q_3B = 9,5.

+ Phương sai mẫu:

$S_B^2=\frac{1}{9}$(2² + 8² + 9² + 9² + 9² + 9² + 9² + 10² + 11²) – 8,4² = 6,55.

+ Độ lệch chuẩn: S_B = $\sqrt{S_B^2}=\sqrt{6,55}\approx 2,6$.

b)

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy A là: ∆_QA = 5,5 – 4 = 1,5.

Ta có: Q_3A + 1,5∆_QA = 5,5 + 1,5 . 1,5 = 7,75 và Q_1A – 1,5∆_QA = 4 – 1,5 . 1,5 = 1,75.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy A là 47.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy B là: ∆_QB = 9,5 – 8,5 = 1.

Ta có: Q_3B + 1,5∆_QB = 9,5 + 1,5 . 1 = 11 và Q_1B – 1,5∆_QB = 8,5 – 1,5 . 1 = 7.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy B là 2.

+ Quan sát các số liệu tính được ở câu a), ta thấy

- Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân ở nhà máy A cao hơn nhà máy B.

- Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở nhà máy A cao hơn nhà máy B nên mức lương hằng tháng của công nhân nhà máy A có độ phân tán cao hơn nhà máy B, do đó mức lương của công nhân nhà máy B ổn định hơn nhà máy A.

- Mức lương xuất hiện nhiều nhất trong mẫu A là 4 và 5 triệu đồng, nhà máy B là 9 triệu đồng.

Do đó, ta có thể khẳng định công nhân nhà máy A có mức lương cao hơn (đều và ổn định hơn).