Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $A B = a, A D = \sqrt{2} a$ , góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng $60^{0}$ . Gọi H là trung điểm của AB. Biết rằng tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC

A. $\frac{9 \sqrt{2} a}{8}$

B. $\frac{\sqrt{62} a}{16}$

C. $\frac{\sqrt{62} a}{8}$

D. $\frac{\sqrt{31} a}{32}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Học kì 1 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Phương pháp:

+) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC và E là trung điểm của BC.

+) Qua I dựng đường thẳng song song với SH, qua E dựng đường thẳng song song với IH, hai đường thẳng này cắt nhau tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AHC. O

+) Tính IH, sử dụng công thức $R = \frac{a b c}{4 S}$ với a, b, c là ba cạnh của tam giác AHC, S là diện tích tam giác AHC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.

+) Tính HE.

+) Sử dụng định lí Pytago tính OH.

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = căn bậc hai 2 a , góc giữa hai (ảnh 1)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = căn bậc hai 2 a , góc giữa hai (ảnh 2)

Kẻ HK vuông góc AB tại K, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC, E là trung điểm của SH.

Ta có: H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S $\Rightarrow S H ⊥ A B$

Mà SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

$Δ A H K$ đồng dạng $Δ A C B$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{H K}{B C} \Leftrightarrow \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{a^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}}} = \frac{H K}{\sqrt{2} a} \Leftrightarrow H K = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Ta có: $H K ⊥ A C, S H ⊥ A C \Rightarrow A C ⊥ (S H K) \Rightarrow A C ⊥ S K$

$\Rightarrow ((S A C); (A B C D)) = \hat{S K H} = 60^{0}$

$Δ S K H$ vuông tại H, $\hat{S K H} = 60^{0} \Rightarrow S H = H K . \tan 60^{0} = \frac{a}{\sqrt{6}} . \sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow E H = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$

Ta có: $S_{Δ A H C} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . S_{A B C D} = \frac{S_{A B C D}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB

$\Rightarrow I H = R = \frac{A H . H C . A C}{4 S_{Δ A H C}} = \frac{\frac{a}{2} . \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}} . \sqrt{a^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}}}{4. \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}} = \frac{\frac{a}{2} . \frac{3 a}{2} . \sqrt{3} a}{a^{2} \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{3} a}{4 \sqrt{2}}$

Tứ giác OEHI là hình chữ nhật

$\Rightarrow O H = \sqrt{I H^{2} + E H^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 \sqrt{2} a}{4 \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2 \sqrt{2}})}^{2}} = \sqrt{\frac{27 a^{2}}{32} + \frac{a^{2}}{8}} = \frac{\sqrt{62} a}{8}$

Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC là

\frac{\sqrt{62} a}{8}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 2}$ là

A. x = 2

B. y = -2

C. x = -2

D. y = 2

Lời giải

Đáp án D

Phương pháp:

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{a x + b}{c x + d}, a, c \neq 0, a d - b c \neq 0$ có tiệm cận đứng là $- \frac{d}{c}$ , tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$