Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước (20 + x) cm và (15 – x) cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

a) Xét f(x) = 2x² + 3x + m + 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 3, c = m + 1.

Ta có: ∆ = 3² – 4.2.(m + 1) = 9 – 8m – 8 = 1 – 8m.

Vì a = 2 > 0 nên để 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆ < 0

⇔ 1 – 8m < 0

⇔ m > $\frac{1}{8}$.

Vậy với m > $\frac{1}{8}$ thì 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) Xét g(x) = mx² + 5x – 3.

+) Với m = 0 thì g(x) = 5x – 3.

Ta có: 5x – 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{5}$.

Do đó với m = 0 không thỏa mãn.

+) Với m ≠ 0 thì g(x) = mx² + 5x – 3 là tam thức bậc hai với a = m, b = 5, c = - 3.

Ta có ∆ = 5² – 4.m.(-3) = 25 + 12m.

Để mx² + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ thì

$\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ 25+12m\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ m\le -\frac{25}{12}\end{array}\right.\iff m\le -\frac{25}{12}$.

Vậy với $m\le -\frac{25}{12}$ thì mx² + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ .

Suy ra h(x) dương khi x thuộc khoảng $\left(5-\sqrt{5};5+\sqrt{5}\right)$ và h(x) âm khi x thuộc hai khoảng $\left(-\infty ;5-\sqrt{5}\right)$ và $\left(5+\sqrt{5};+\infty \right)$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy trục Ox chính là vành rổ.

Ta có $5-\sqrt{5}\approx 1,1$ và $5+\sqrt{5}\approx 8,9$

Vậy với x thuộc khoảng (1,1; 8,9) thì bóng nằm cao hơn vành rổ và với x thuộc khoảng  (– ∞;1,1) và (8,9 ; + ∞) thì bóng nằm thấp hơn vành rổ và với x ≈ 1,1 hoặc x ≈ 8,9 thì bóng nằm ngang vành rổ.