Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

2) Trên cung nhỏ MN lấy điểm B khác M, N và B không là điểm chính giửa của cung MN. Tia AB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C. Chứng minh: AM² = AB.AC

3) Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh góc AHB= góc ACO.

Gọi x (bể) là phần nước của bể vòi một chảy được trong 1 giờ (x > 0)

y (bể) là phần nước của bể vòi hai chảy dược trong 1 giờ (y > 0)

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể nên

18x + 18y = 1 (1)

Vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$  bể nên

4x + 7y =  $\frac{1}{3}$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}18x+18y=1\\ 4x+7y=\frac{1}{3}\end{array}$

 $\iff \{\begin{array}{l}18x+18y=1\\ x=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-7y)\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}\frac{18}{4}(\frac{1}{3}-7y)+18y=1\\ x=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-7y)\end{array}$

Û   $\{\begin{array}{l}\frac{-27}{2}y=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-7y)\end{array}$

Û  $\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{27}\\ x=\frac{1}{54}\end{array}$(thỏa mãn)

Ta có vòi 1 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{54}$  bể suy ra vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể,

vòi 2 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{27}$  bể suy ra vòi 2 chảy một mình 27 giờ thì đầy bể.

Vậy vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể, vòi 2 chảy một mình trong 27 giờ thì đầy bể.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki:

Xét $K^2={(1.\sqrt{3a+1}+1.\sqrt{3b+1}+1.\sqrt{3c+1})}^2$

$\le (1^2+1^2+1^2)(3a+1+3b+1+3c+1)$

= 3.[3.(a + b + c) + 3 = 3.(3.3 + 3) = 66

Suy ra K ≤ 6

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{3a+1}=\sqrt{3b+1}=\sqrt{3c+1}$

Û 3a + 1 = 3b + 1 = 3c + 1

Û a = b = c.

Mà a + b + c = 1 nên a = b = c = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức K = 6 khi a = b = c = 1.