Cho các biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}+\frac{4x}{x-4}$

và $B=\frac{4(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}$  với x ≥ 0, x ≠ 4

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9.

2) Chứng minh: $A=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ .

3) Cho $P=\frac{A}{B}$  . So sánh P và $\sqrt{P}$  .

Gọi x (bể) là phần nước của bể vòi một chảy được trong 1 giờ (x > 0)

y (bể) là phần nước của bể vòi hai chảy dược trong 1 giờ (y > 0)

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong 18 giờ thì đầy bể nên

18x + 18y = 1 (1)

Vòi 1 chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 7 giờ thì chỉ được $\frac{1}{3}$  bể nên

4x + 7y =  $\frac{1}{3}$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}18x+18y=1\\ 4x+7y=\frac{1}{3}\end{array}$

 $\iff \{\begin{array}{l}18x+18y=1\\ x=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-7y)\end{array}$

Û $\{\begin{array}{l}\frac{18}{4}(\frac{1}{3}-7y)+18y=1\\ x=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-7y)\end{array}$

Û   $\{\begin{array}{l}\frac{-27}{2}y=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}(\frac{1}{3}-7y)\end{array}$

Û  $\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{27}\\ x=\frac{1}{54}\end{array}$(thỏa mãn)

Ta có vòi 1 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{54}$  bể suy ra vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể,

vòi 2 mỗi giờ chảy được $\frac{1}{27}$  bể suy ra vòi 2 chảy một mình 27 giờ thì đầy bể.

Vậy vòi 1 chảy một mình 54 giờ thì đầy bể, vòi 2 chảy một mình trong 27 giờ thì đầy bể.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki:

Xét $K^2={(1.\sqrt{3a+1}+1.\sqrt{3b+1}+1.\sqrt{3c+1})}^2$

$\le (1^2+1^2+1^2)(3a+1+3b+1+3c+1)$

= 3.[3.(a + b + c) + 3 = 3.(3.3 + 3) = 66

Suy ra K ≤ 6

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{3a+1}=\sqrt{3b+1}=\sqrt{3c+1}$

Û 3a + 1 = 3b + 1 = 3c + 1

Û a = b = c.

Mà a + b + c = 1 nên a = b = c = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức K = 6 khi a = b = c = 1.