Cho dãy số (un) xác định bởi u1=2un+1=un+12,n≥1 Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng? A.Dãy (un) là dãy giảm tới 1 khi n→+∞ B.Dãy (un) là dãy tăng tới 1 khi n→+∞ C.Không tồn tại giới hạn của dãy (u...

u2=2+12=32=21+121 u3=32+12=54=22+122 u4=54+12=98=23+123 Chứng minh bằng quy nạp: un+1=2n+12n, ∀n=1;2;... (∗) * Với n=1:u2=u1+12=2+12=21+121: (*) đúng * Giả sử (*) đúng với n=k≥1 tức là uk=2k+12k ta chứng minh (*) đúng với n=k+1 tức là cần chứng minh uk+1=2k+1+12k+1 Ta có : uk+1=uk+12=2k+12k+12=2k+1+2k2k2=2.2k+12k+1=2k+1+12k+1 Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*). Như vậy, công thức tổng quát của dãy (un)là: un=2n−1+12n−1=1+12n−1, ∀n=1;2;... (∗) Từ (*) ta có un+1−un=1+12n−1+12n−1 =12n−12n+1<0 ∀n=1,2,...⇒unlà dãy giảm và limun=lim1+12n−1=1⇒là dãy giảm tới 1 khi n→+∞ Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi:

15/07/2022 368

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}, (n \geq 1) \end{matrix}$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Dãy $(u_{n})$ là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty$

B.Dãy $(u_{n})$ là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty$

C.Không tồn tại giới hạn của dãy $(u_{n})$

D.Cả 3 đáp án trên đều sai

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giới hạn của dãy số !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$u_{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}}$

$u_{3} = \frac{\frac{3}{2} + 1}{2} = \frac{5}{4} = \frac{2^{2} + 1}{2^{2}}$

$u_{4} = \frac{\frac{5}{4} + 1}{2} = \frac{9}{8} = \frac{2^{3} + 1}{2^{3}}$

Chứng minh bằng quy nạp: $u_{n + 1} = \frac{2^{n} + 1}{2^{n}}, \forall n = 1; 2; ... (*)$

* Với $n = 1 : u_{2} = \frac{u_{1} + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}}$ : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k \geq 1$ tức là $u_{k} = \frac{2^{k} + 1}{2^{k}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ tức là cần chứng minh $u_{k + 1} = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}}$

Ta có :

$u_{k + 1} = \frac{u_{k} + 1}{2} = \frac{\frac{2^{k} + 1}{2^{k}} + 1}{2} = \frac{\frac{2^{k} + 1 + 2^{k}}{2^{k}}}{2} = \frac{{2.2}^{k} + 1}{2^{k + 1}} = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $(u_{n})$ là:

$u_{n} = \frac{2^{n - 1} + 1}{2^{n - 1}} = 1 + \frac{1}{2^{n - 1}}, \forall n = 1; 2; ... (*)$

Từ (*) ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{n}} - (1 + \frac{1}{2^{n - 1}})$

$= \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n + 1}} < 0 \forall n = 1, 2, ... \Rightarrow (u_{n})$ là dãy giảm và

$\lim u_{n} = \lim (1 + \frac{1}{2^{n - 1}}) = 1 \Rightarrow$ là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty$

Đáp án cần chọn là: A

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.36m

B.62m

C.60m

D.56m

Lời giải

Media VietJack

Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là $u_{1} \Rightarrow u_{1} = 12. \frac{2}{3} = 8$

\Rightarrow u_{2} = \frac{2}{3} u_{1}; u_{3} = \frac{2}{3} u_{2}; ...; u_{n} = \frac{2}{3} u_{n - 1}; ...

=> Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 8; q = \frac{2}{3}$

Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển là

S = 12 + 2 u_{1} + 2 u_{2} + 2 u_{3} + ... + 2 u_{n} + ...

= 12 + 2. (u_{1} + u_{2} + \dots) = 12 + 2. \frac{u_{1}}{1 - q}

= 12 + 2. \frac{8}{1 - \frac{2}{3}} = 60

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2

Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m². Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là

A. 333 viên gạch

B. 334 viên gạch

C. 332 viên gạch

D. 335 viên gạch

Lời giải

Bước 1: Gọi S¹ là diện tích mặt đáy tháp. Biểu diễn diện tích mặt đáy tầng thứ n.

Gọi S¹ là diện tích mặt đáy tháp. Ta có: $S_{1} = 15 (m^{2})$

Theo yêu cầu khi xây dựng tòa tháp, diên tích mặt đáy các tầng tiếp theo là:

$S_{2} = \frac{1}{2} S_{1}$

$S_{3} = \frac{1}{2} S_{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} S_{1} .$

….

$S_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} S_{1}$

Bước 2: Tính tổng diện tích mặt sàn 11 tầng.

Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp là

$S = S_{1} + S_{2} + .. + S_{11} = S_{1} . (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + .. + \frac{1}{2^{10}}) = 15.1. \frac{1 - \frac{1}{2^{11}}}{1 - \frac{1}{2}} \approx 29, 98 (m^{2}) .$

Bước 3: Tìm số viên gạch

Diện tích mỗi viên gạch là $30.30 = 900 ({cm}^{2}) = 0, 09 (m^{2})$

Số lượng gạch hoa cần mua là $\frac{S}{0, 09} \approx 333, 17$

Vậy cần mua 334 viên gạch

Câu 3

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ ,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1} \dots . G o i P, P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}, ...$ là chu vi của các tam giác $A B C, A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, ..., A_{n} B_{n} C_{n}, ...$ Tìm tổng $P, P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}, ...$

A.9a

B.6a

C. $+ \infty$

D.3a

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Dãy số (u_n) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?

A. $u_{n} = \frac{{(2017 - n)}^{2018}}{n {(2018 - n)}^{2017}}$

B. $u_{n} = n (\sqrt{n^{2} + 2018} - \sqrt{n^{2} + 2016})$

C. $\{\begin{matrix} u_{1} = 2017 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + 1), n = 1, 2, 3... \end{matrix}$

D. $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) . (2 n + 1)}$

Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C.1

D.2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho các số thực a, b thỏa mãn $|a| < 1, |b| < 1$ . Tìm giới hạn $I = l i m \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$ .

A. $+ \infty$

B. $\frac{1 - a}{1 - b}$

C. $\frac{1 - b}{1 - a}$

D.1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tính giới hạn: $\lim [(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})]$ .

A.1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}, (n \geq 1) \end{matrix}$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

Dãy số (u_n) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) . (2 n + 1)}$

Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

Cho các số thực a, b thỏa mãn $|a| < 1, |b| < 1$ . Tìm giới hạn $I = l i m \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$ .

Tính giới hạn: $\lim [(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})]$ .