Tìm số hữu tỉ biểu diễn số $0,111111\dots$ chu kỳ (1).

Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?

Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m². Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}\dots .Goi P,P_1,P_2,\mathrm{...},P_n,\mathrm{...}$ là chu vi của các tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,\mathrm{...},A_n{B}_n{C}_n,\mathrm{...}$ Tìm tổng $P,P_1,P_2,\mathrm{...},P_n,\mathrm{...}$

Dãy số (u_n) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\left|a\right|<1,\left|b\right|<1$. Tìm giới hạn $I=lim\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$.

Tính giới hạn: $\lim \left[\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right]$.