Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và ∫0π2f(sinx)dx = 5. Tính I=∫0πxf(sinx)dx A. I = 10π B. I = 52 π C. 5π D. 5

Đáp án đúng là: C Với I1 = ∫0π2f(sinx)dx . Đặt x = π2− t Û dx = −dt Đổi cận : Do đó: I1 = ∫π20fsinπ2−tdt = ∫0π2fcostdt . Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx) ∫0πx.f(sinx)dx = ∫0π2x.f(sinx)dx+∫π2πx.f(sinx)dx Đổi biến u = π2 − x Nên I2 = ∫0π2π2−u.f(cosu)du = ∫0π2π2−x.f(sinx)dx . Do đó: 2I2 = ∫0π2π2.f(sinx)dx Þ I2 = π4.∫0π2f(sinx)dx . Với ∫0π2f(sinx)dx=5 Đặt t = π – x. Suy ra I1 = ∫π2πf(sin(π−t))dt = ∫π2πf(−sint)dt . Đổi biến: v = 3π2− t Suy ra I1 = ∫π2πf−sin3π2−vdv = ∫π2πf(cosv)dv Trên π2;π thì sinx = −cosx, ta có: I3 = ∫π2πx.f(sinx)dx . Đổi biến : u = 3π2− x, ta được: I3 = ∫π2π3π2−u.fsin3π2−udu = ∫π2π3π2−u.f(−cosu)du Từ đó, ta có: 2I3 = ∫π2π3π2.f(−sinx)dx Þ I3 = ∫π2π3π4.f(−sinx)dx Þ I = I2 + I3 = π.∫ππ2f(x)dx = 5π. Vậy I = ∫0πxf(sinx)dx = 5π.

Câu hỏi:

18/07/2022 5,841

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ = 5. Tính $I = \int_{0}^{π} xf (s inx) dx$

A. I = 10π

B. I =

\frac{5}{2}

C. 5π

D. 5

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Với I₁ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ .

Đặt x = $\frac{π}{2}$ − t Û dx = −dt

Đổi cận :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và tích phân từ 0 đến pi/2 f(sinx)dx = 5. Tính (ảnh 1)

Do đó: I₁ = $\int_{\frac{π}{2}}^{0} f (\sin (\frac{π}{2} - t)) dt$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (cost) dt$ .

Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx)

$\int_{0}^{π} x . f (s inx) dx$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f (s inx) dx + \int_{\frac{π}{2}}^{π} x . f (s inx) dx$

Đổi biến u = $\frac{π}{2}$ − x

Nên I₂ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - u) . f (cosu) du$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - x) . f (s inx) dx$ .

Do đó: 2I₂ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{π}{2} . f (s inx) dx$ Þ I₂ = $\frac{π}{4} . \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ .

Với $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx = 5$

Đặt t = π – x.

Suy ra I₁= $\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (\sin (π - t)) dt$ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (- sint) dt$ .

Đổi biến: v = $\frac{3 π}{2}$ − t

Suy ra I₁ =

\int_{\frac{π}{2}}^{π} f [- \sin (\frac{3 π}{2} - v)] dv

\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (cosv) dv

Trên $(\frac{π}{2}; π)$ thì sinx = −cosx, ta có:

I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} x . f (s inx) dx$ .

Đổi biến : u = $\frac{3 π}{2}$ − x, ta được:

I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} [(\frac{3 π}{2} - u) . f (\sin (\frac{3 π}{2} - u))] du$

= $\int_{\frac{π}{2}}^{π} (\frac{3 π}{2} - u) . f (- cosu) du$

Từ đó, ta có: 2I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{3 π}{2} . f (- s inx) dx$

Þ I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{3 π}{4} . f (- s inx) dx$

Þ I = I₂ + I₃ = π. $\int_{π}^{\frac{π}{2}} f (x) dx$ = 5π.

Vậy I = $\int_{0}^{π} xf (s inx) dx$ = 5π.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\int_{1}^{3} f (x) dx$ = 2, giá trị của $\int_{0}^{1} f (2 x + 1) dx$ bằng

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Đặt u = 2x + 1 Û du = 2dx Þ dx = $\frac{1}{2}$ du

Đổi cận:

x	1	0
u	3	1

Ta có:

\int_{1}^{3} f (u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (u) du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (x) dx = \frac{1}{2} . 2 = 1

Câu 2

Cho đường thẳng y = $\frac{3}{4}$ x và parabol y = $\frac{1}{2}$ x² + a, (a là tham số thực dương). Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S₁ = S₂ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(0; \frac{3}{16})$

B. $(\frac{3}{16}; \frac{7}{32})$

C. $(\frac{1}{4}; \frac{9}{32})$

D. $(\frac{7}{32}; \frac{1}{4})$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

$\frac{3}{4}$ x = $\frac{1}{2}$ x² + a Û 2x² – 3x + 4a = 0 (*)

Ta có: (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt nên:

$\{\begin{matrix} Δ > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} 9 a - 32 a > 0 \\ 2 a > 0 \end{matrix}$

Û 0 < a < $\frac{9}{32}$ .

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{2}$ x² − $\frac{3}{4}$ x + a.

Khi đó:

S₁ = $\int_{0}^{x_{1}} (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{4} x + a) dx$

= ${\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{8} x^{2} +ax|}_{0}^{x_{1}}$ = F(x₁).

S₂ = $\int_{x_{1}}^{x_{2}} (- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{4} x - a) dx$

= ${- F (x)|}_{x_{1}}^{x_{2}}$ = −F(x₂) + F(x₁).

Ta có: S₁= S₂ Û F(x₂) = 0

Û $\frac{1}{6} x_{2}^{3} - \frac{3}{8} x_{2}^{2}$ + ax₂ = 0

Û $4 x_{2}^{2}$ − 9x₂ + 24a = 0

Do x₂ là nghiệm của phương trình (*) nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} 2 x_{2}^{2} - 3 x_{2} + 4 a = 0 \\ 4 x_{2}^{2} - 9 x_{2} + 24 a = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x_{2}^{2} - 3 x_{2} + 4 a = 0 \\ 16 a - 3 x_{2} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 . \frac{256}{9} a^{2} - 16 a + 4 a = 0 \\ x_{2} = \frac{16 a}{3} \end{matrix} \Rightarrow \frac{512}{9} a^{2} - 12 a = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 0 \\ a = \frac{27}{128} \end{matrix}$

Đối chiếu điều kiện của a nên ta có $a = \frac{27}{128} \in (\frac{3}{16}; \frac{7}{12})$

Câu 3

Biết $\int (x + 3) . e^{- 2 x} dx = - \frac{1}{m} e^{- 2 x} (2 x + n) + C$ , với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m² + n² có giá trị bằng

A. 10

B. 65

C. 41

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA² + MB² nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

A. -2

B. 2

C. 1

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $\int_{- 1}^{2} (2 x - 2) dx$

B. $\int_{- 1}^{2} (- 2 x + 2) dx$

C. $\int_{- 1}^{2} (- 2 x^{2} + 2 x + 4) dx$

D. $\int_{- 1}^{2} (2 x^{2} - 2 x - 4) dx$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (3; −1; 0)

B. (0; −1; 0)

C. (0; 0; 1)

D. (3; 0; 0)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $\int \frac{2 x + 1}{x - 2} dx$ = ax + bln $|x - 2|$ với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là

A. S = 4

B. S = 7

C. S = 1

D. S = 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và ∫0π2f(sinx)dx = 5. Tính I=∫0πxf(sinx)dx

Bình luận

Cho ∫13f(x)dx = 2, giá trị của ∫01f(2x+1)dx bằng

Cho đường thẳng y = 34x và parabol y = 12x2 + a, (a là tham số thực dương). Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

Biết ∫(x+3).e−2xdx=−1me−2x(2x+n)+C, với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m2 + n2 có giá trị bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là

Cho ∫2x+1x−2dx = ax + blnx−2 với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ = 5. Tính $I = \int_{0}^{π} xf (s inx) dx$

Cho $\int_{1}^{3} f (x) dx$ = 2, giá trị của $\int_{0}^{1} f (2 x + 1) dx$ bằng

Cho đường thẳng y = $\frac{3}{4}$ x và parabol y = $\frac{1}{2}$ x² + a, (a là tham số thực dương). Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S₁ = S₂ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

Biết $\int (x + 3) . e^{- 2 x} dx = - \frac{1}{m} e^{- 2 x} (2 x + n) + C$ , với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m² + n² có giá trị bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA² + MB² nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

Cho $\int \frac{2 x + 1}{x - 2} dx$ = ax + bln $|x - 2|$ với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là