Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và ∫0π2f(sinx)dx = 5. Tính I=∫0πxf(sinx)dx A. I = 10π B. I = 52 π C. 5π D. 5

Đáp án đúng là: C Với I1 = ∫0π2f(sinx)dx . Đặt x = π2− t Û dx = −dt Đổi cận : Do đó: I1 = ∫π20fsinπ2−tdt = ∫0π2fcostdt . Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx) ∫0πx.f(sinx)dx = ∫0π2x.f(sinx)dx+∫π2πx.f(sinx)dx Đổi biến u = π2 − x Nên I2 = ∫0π2π2−u.f(cosu)du = ∫0π2π2−x.f(sinx)dx . Do đó: 2I2 = ∫0π2π2.f(sinx)dx Þ I2 = π4.∫0π2f(sinx)dx . Với ∫0π2f(sinx)dx=5 Đặt t = π – x. Suy ra I1 = ∫π2πf(sin(π−t))dt = ∫π2πf(−sint)dt . Đổi biến: v = 3π2− t Suy ra I1 = ∫π2πf−sin3π2−vdv = ∫π2πf(cosv)dv Trên π2;π thì sinx = −cosx, ta có: I3 = ∫π2πx.f(sinx)dx . Đổi biến : u = 3π2− x, ta được: I3 = ∫π2π3π2−u.fsin3π2−udu = ∫π2π3π2−u.f(−cosu)du Từ đó, ta có: 2I3 = ∫π2π3π2.f(−sinx)dx Þ I3 = ∫π2π3π4.f(−sinx)dx Þ I = I2 + I3 = π.∫ππ2f(x)dx = 5π. Vậy I = ∫0πxf(sinx)dx = 5π.

Câu hỏi:

18/07/2022 5,313

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ = 5. Tính $I = \int_{0}^{π} xf (s inx) dx$

A. I = 10π

B. I =

\frac{5}{2}

π

C. 5π

Đáp án chính xác

D. 5

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Với I₁ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ .

Đặt x = $\frac{π}{2}$ − t Û dx = −dt

Đổi cận :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và tích phân từ 0 đến pi/2 f(sinx)dx = 5. Tính (ảnh 1)

Do đó: I₁ = $\int_{\frac{π}{2}}^{0} f (\sin (\frac{π}{2} - t)) dt$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (cost) dt$ .

Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx)

$\int_{0}^{π} x . f (s inx) dx$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f (s inx) dx + \int_{\frac{π}{2}}^{π} x . f (s inx) dx$

Đổi biến u = $\frac{π}{2}$ − x

Nên I₂ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - u) . f (cosu) du$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - x) . f (s inx) dx$ .

Do đó: 2I₂ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{π}{2} . f (s inx) dx$ Þ I₂ = $\frac{π}{4} . \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ .

Với $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx = 5$

Đặt t = π – x.

Suy ra I₁= $\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (\sin (π - t)) dt$ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (- sint) dt$ .

Đổi biến: v = $\frac{3 π}{2}$ − t

Suy ra I₁ =

\int_{\frac{π}{2}}^{π} f [- \sin (\frac{3 π}{2} - v)] dv

=

\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (cosv) dv

Trên $(\frac{π}{2}; π)$ thì sinx = −cosx, ta có:

I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} x . f (s inx) dx$ .

Đổi biến : u = $\frac{3 π}{2}$ − x, ta được:

I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} [(\frac{3 π}{2} - u) . f (\sin (\frac{3 π}{2} - u))] du$

= $\int_{\frac{π}{2}}^{π} (\frac{3 π}{2} - u) . f (- cosu) du$

Từ đó, ta có: 2I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{3 π}{2} . f (- s inx) dx$

Þ I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{3 π}{4} . f (- s inx) dx$

Þ I = I₂ + I₃ = π. $\int_{π}^{\frac{π}{2}} f (x) dx$ = 5π.

Vậy I = $\int_{0}^{π} xf (s inx) dx$ = 5π.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho $\int_{1}^{3} f (x) dx$ = 2, giá trị của $\int_{0}^{1} f (2 x + 1) dx$ bằng

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án » 18/07/2022 24,210

Câu 2:

Biết $\int (x + 3) . e^{- 2 x} dx = - \frac{1}{m} e^{- 2 x} (2 x + n) + C$ , với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m² + n² có giá trị bằng

A. 10

B. 65

C. 41

D. 5

Xem đáp án » 18/07/2022 13,007

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (3; −1; 0)

B. (0; −1; 0)

C. (0; 0; 1)

D. (3; 0; 0)

Xem đáp án » 18/07/2022 10,423

Câu 4:

Cho $\int \frac{2 x + 1}{x - 2} dx$ = ax + bln $|x - 2|$ với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là

A. S = 4

B. S = 7

C. S = 1

D. S = 2

Xem đáp án » 18/07/2022 8,760

Câu 5:

Tìm họ nguyên hàm F(x) = $\int x^{2} dx$

A. F(x) =

\frac{x^{3}}{3}

+ C

B. F(x) = 2x + C

C. F(x) =

- \frac{x^{3}}{3}

+ C

D. F(x) = x² + C

Xem đáp án » 18/07/2022 8,485

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA² + MB² nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

A. -2

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án » 18/07/2022 7,378

Câu 7:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x là:

A. F(x) =

\frac{2^{x}}{\ln 2}

+ C

B. F(x) = 2^{x – 1} + C

C. F(x) = −2^x + C

D. F(x) = 2^x + C

Xem đáp án » 18/07/2022 6,278

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ = 5. Tính $I = \int_{0}^{π} xf (s inx) dx$

Nhà sách VIETJACK:

Cho $\int_{1}^{3} f (x) dx$ = 2, giá trị của $\int_{0}^{1} f (2 x + 1) dx$ bằng

Biết $\int (x + 3) . e^{- 2 x} dx = - \frac{1}{m} e^{- 2 x} (2 x + n) + C$ , với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m² + n² có giá trị bằng

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là

Cho $\int \frac{2 x + 1}{x - 2} dx$ = ax + bln $|x - 2|$ với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là

Tìm họ nguyên hàm F(x) = $\int x^{2} dx$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA² + MB² nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x là:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và ∫0π2f(sinx)dx = 5. Tính I=∫0πxf(sinx)dx

Nhà sách VIETJACK:

Cho ∫13f(x)dx = 2, giá trị của ∫01f(2x+1)dx bằng

Biết ∫(x+3).e−2xdx=−1me−2x(2x+n)+C, với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m2 + n2 có giá trị bằng

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là

Cho ∫2x+1x−2dx = ax + blnx−2 với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là

Tìm họ nguyên hàm F(x) = ∫x2dx

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ = 5. Tính $I = \int_{0}^{π} xf (s inx) dx$

Cho $\int_{1}^{3} f (x) dx$ = 2, giá trị của $\int_{0}^{1} f (2 x + 1) dx$ bằng

Biết $\int (x + 3) . e^{- 2 x} dx = - \frac{1}{m} e^{- 2 x} (2 x + n) + C$ , với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m² + n² có giá trị bằng

Cho $\int \frac{2 x + 1}{x - 2} dx$ = ax + bln $|x - 2|$ với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là

Tìm họ nguyên hàm F(x) = $\int x^{2} dx$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA² + MB² nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x là: