Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và ∫0π2f(sinx)dx = 5. Tính I=∫0πxf(sinx)dx A. I = 10π B. I = 52 π C. 5π D. 5

Đáp án đúng là: C Với I1 = ∫0π2f(sinx)dx . Đặt x = π2− t Û dx = −dt Đổi cận : Do đó: I1 = ∫π20fsinπ2−tdt = ∫0π2fcostdt . Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx) ∫0πx.f(sinx)dx = ∫0π2x.f(sinx)dx+∫π2πx.f(sinx)dx Đổi biến u = π2 − x Nên I2 = ∫0π2π2−u.f(cosu)du = ∫0π2π2−x.f(sinx)dx . Do đó: 2I2 = ∫0π2π2.f(sinx)dx Þ I2 = π4.∫0π2f(sinx)dx . Với ∫0π2f(sinx)dx=5 Đặt t = π – x. Suy ra I1 = ∫π2πf(sin(π−t))dt = ∫π2πf(−sint)dt . Đổi biến: v = 3π2− t Suy ra I1 = ∫π2πf−sin3π2−vdv = ∫π2πf(cosv)dv Trên π2;π thì sinx = −cosx, ta có: I3 = ∫π2πx.f(sinx)dx . Đổi biến : u = 3π2− x, ta được: I3 = ∫π2π3π2−u.fsin3π2−udu = ∫π2π3π2−u.f(−cosu)du Từ đó, ta có: 2I3 = ∫π2π3π2.f(−sinx)dx Þ I3 = ∫π2π3π4.f(−sinx)dx Þ I = I2 + I3 = π.∫ππ2f(x)dx = 5π. Vậy I = ∫0πxf(sinx)dx = 5π.

Câu hỏi:

18/07/2022 6,271

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ = 5. Tính $I = \int_{0}^{π} xf (s inx) dx$

A. I = 10π

B. I =

\frac{5}{2}

C. 5π

D. 5

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Với I₁ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ .

Đặt x = $\frac{π}{2}$ − t Û dx = −dt

Đổi cận :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và tích phân từ 0 đến pi/2 f(sinx)dx = 5. Tính (ảnh 1)

Do đó: I₁ = $\int_{\frac{π}{2}}^{0} f (\sin (\frac{π}{2} - t)) dt$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (cost) dt$ .

Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx)

$\int_{0}^{π} x . f (s inx) dx$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f (s inx) dx + \int_{\frac{π}{2}}^{π} x . f (s inx) dx$

Đổi biến u = $\frac{π}{2}$ − x

Nên I₂ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - u) . f (cosu) du$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - x) . f (s inx) dx$ .

Do đó: 2I₂ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{π}{2} . f (s inx) dx$ Þ I₂ = $\frac{π}{4} . \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx$ .

Với $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (s inx) dx = 5$

Đặt t = π – x.

Suy ra I₁= $\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (\sin (π - t)) dt$ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (- sint) dt$ .

Đổi biến: v = $\frac{3 π}{2}$ − t

Suy ra I₁ =

\int_{\frac{π}{2}}^{π} f [- \sin (\frac{3 π}{2} - v)] dv

\int_{\frac{π}{2}}^{π} f (cosv) dv

Trên $(\frac{π}{2}; π)$ thì sinx = −cosx, ta có:

I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} x . f (s inx) dx$ .

Đổi biến : u = $\frac{3 π}{2}$ − x, ta được:

I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} [(\frac{3 π}{2} - u) . f (\sin (\frac{3 π}{2} - u))] du$

= $\int_{\frac{π}{2}}^{π} (\frac{3 π}{2} - u) . f (- cosu) du$

Từ đó, ta có: 2I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{3 π}{2} . f (- s inx) dx$

Þ I₃ = $\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{3 π}{4} . f (- s inx) dx$

Þ I = I₂ + I₃ = π. $\int_{π}^{\frac{π}{2}} f (x) dx$ = 5π.

Vậy I = $\int_{0}^{π} xf (s inx) dx$ = 5π.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\int_{1}^{3} f (x) dx$ = 2, giá trị của $\int_{0}^{1} f (2 x + 1) dx$ bằng

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Đặt u = 2x + 1 Û du = 2dx Þ dx = $\frac{1}{2}$ du

Đổi cận:

x	1	0
u	3	1

Ta có:

\int_{1}^{3} f (u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (u) du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (x) dx = \frac{1}{2} . 2 = 1

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA² + MB² nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:

A. -2

B. 2

C. 1

D. 3

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: MA² + MB² = (a – 1)² + (b – 2)² + 1² +(a – 2)² + (b + 1)²+ 3²

= 2a² + 2b² – 6a – 2b + 10 = 2(a² + b² – 3a – b + 5)

= 2 $[{(a - \frac{3}{2})}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{5}{2}]$ ≥ $\frac{5}{2}$

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : a = $\frac{3}{2}$ , b = $\frac{1}{2}$ .

Vậy a + b = $\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$ = 2.

Câu 3

Cho đường thẳng y = $\frac{3}{4}$ x và parabol y = $\frac{1}{2}$ x² + a, (a là tham số thực dương). Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S₁ = S₂ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(0; \frac{3}{16})$

B. $(\frac{3}{16}; \frac{7}{32})$

C. $(\frac{1}{4}; \frac{9}{32})$

D. $(\frac{7}{32}; \frac{1}{4})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (3; −1; 0)

B. (0; −1; 0)

C. (0; 0; 1)

D. (3; 0; 0)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $\int_{- 1}^{2} (2 x - 2) dx$

B. $\int_{- 1}^{2} (- 2 x + 2) dx$

C. $\int_{- 1}^{2} (- 2 x^{2} + 2 x + 4) dx$

D. $\int_{- 1}^{2} (2 x^{2} - 2 x - 4) dx$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Biết $\int (x + 3) . e^{- 2 x} dx = - \frac{1}{m} e^{- 2 x} (2 x + n) + C$ , với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m² + n² có giá trị bằng

A. 10

B. 65

C. 41

D. 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho $\int \frac{2 x + 1}{x - 2} dx$ = ax + bln $|x - 2|$ với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là

A. S = 4

B. S = 7

C. S = 1

D. S = 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý