Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở B, $AC=a\sqrt{2}$, $SA\perp mp\left(ABC\right)$, $SA=a$. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN?

Cho lăng trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có diện tích mặt bên $AB{B}_1{A}_1$ bằng 4, khoảng cách giữa cạnh $C{C}_1$ và mặt phẳng $\left(AB{B}_1{A}_1\right)$ bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2, tam giác ABC vuông tại B, $BC=\sqrt{3}$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD bằng $\frac{\sqrt{11}}{2}$. Khi đó độ dài cạnh CD là

Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật và $\widehat{CAD}={40}^0$. Số đo góc giữa hai đường thẳng AC và B'D' là

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $AA\text{'}=a,AB=3a$,$AC=5a$. Thể tích của khối hộp đã cho là 

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Cắt khối lập phương bởi các mặt phẳng (AB'D') và (C'BD) ta được ba khối đa diện. Xét các mệnh đề sau:

(I): Ba khối đa diện thu được gồm hai khối chóp tam giác đều và một khối lăng trụ tam giác.

(II): Ba khối đa diện thu được gồm hai khối tứ diện và một khối bát diện đều.

(III): Trong ba khối đa diện thu được có hai khối đa diện bằng nhau.

Số mệnh đề đúng là

Cho tứ diện ABCD có AC = 3a, $BD=4a$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đường thẳng $AA\text{'},BB\text{'},CC\text{'}$thỏa mãn diện tích của tam giác MNP bằng $a^2$. Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) là