Cho hai hàm số $f (x) = a x + 5 (a \neq 0)$ và $g (x) = (a^{2} + 3) x - 2.$ Chứng minh rằng:

a) Hàm số $f (x) + g (x); g (x) + 2 f (x); g (x) - f (x)$ là các hàm số đồng biến

b) Hàm số f(x) - g(x) là hàm số nghịch biến.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 11 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$a) f (x) + g (x) = a x + 5 + (a^{2} + 3) x - 2 = (a^{2} + a + 3) x + 3$

Ta có $a^{2} + a + 3 = {(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{11}{4} > 0 \Rightarrow a^{2} + a + 3 > 0$

$\Rightarrow$ Hàm số f(x) + g(x) đồng biến.

$\begin{array}{l} g (x) + 2 f (x) = 2 (a x + 5) + (a^{2} + 3) x - 2 \\ = (a^{2} + 2 a + 3) x + 4 \end{array}$

Ta có $a^{2} + 2 a + 3 = {(a + 1)}^{2} + 2 > 0 \Rightarrow a^{2} + 2 a + 3 > 0$

$\Rightarrow$ Hàm số $g (x) + 2 f (x)$ đồng biến

Ta có $g (x) - f (x) = (a^{2} + 3) x - 2 - (a x + 5) = (a^{2} - a + 3) x + 3$

Vì $a^{2} - a + 3 = {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{11}{4} > 0 \Rightarrow a^{2} - a + 3 > 0$ $\Rightarrow$ hàm số f(x) - g(x) đồng biến

$\begin{array}{l} b) f (x) - g (x) = a x + 5 - [(a^{2} + 3) x - 2] \\ = (a - a^{2} - 3) x + 5 + 2 = (- a^{2} + a - 3) x + 7 \end{array}$

Vì $- a^{2} + a - 3 = - (a^{2} - a + 3) = - [{(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{11}{4}] = - {(a - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{11}{4} < 0$

$\Rightarrow$ f(x) - g(x) nghịch biến

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) và một dây cung AB. Gọi I là trung điểm của AB. Tia OI cắt cung AB tại M

a) Cho $R = 5 c m, A B = 6 c m .$ Tính độ dài dây cung MA

b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua O, giả sử $N A = 5 c m, A B = 6 c m .$ Tính bán kính R.

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) và một dây cung AB. Gọi I là trung điểm của AB. Tia OI (ảnh 1)

a) Vì I là trung điểm của AB $\Rightarrow O I ⊥ A B$ (tính chất đường kính dây cung)

Vì $A B = 6 c m \Rightarrow A I = \frac{A B}{2} = 3 (c m)$

$Δ A O I$ vuông tại I, theo định lý Pytago

$\Rightarrow O I = \sqrt{O A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 (c m)$

$\Rightarrow I M = O M - O I = 5 - 4 = 1 (c m)$

$Δ A I M$ vuông tại I, theo định lý Pytago

$\Rightarrow A M = \sqrt{A I^{2} + I M^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10} (c m)$

Vậy $A M = \sqrt{10} c m$

b) $Δ N A I$ vuông tại I, áp dụng định lý Pytago

$\begin{array}{l} \Rightarrow N I = \sqrt{N A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 \\ \Rightarrow N M = N I + I M = 4 + 1 = 5 (c m) \Rightarrow R = \frac{5}{2} c m \end{array}$

Câu 2

Cho đường tròn (O; R), A và B di động trên đường tròn (O) thỏa mãn $\hat{A O B} = 120^{0} .$ Vẽ $O H ⊥ A B$ tại H

a) Chứng minh H là trung điểm của AB

b) Tính OH, AB. Diện tích $Δ O A B$ theo R

c) Tia OH cắt (O; R) tại C. Tứ giác OACB là hình gì ? Vì sao ?

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R), A và B di động trên đường tròn (O) thỏa mãn (ảnh 1)

a) Ta có AB là dây cung mà $O H ⊥ A B \Rightarrow H$ là trung điểm AB (tính chất đường kính – dây cung)

b) $Δ O A B$ cân tại O (OA = OB = R), có OH là đường cao $\Rightarrow O H$ là đường phân giác

$\Rightarrow \hat{A O H} = \hat{B O H} = 60^{0}$

$\Rightarrow Δ A H O$ vuông tại H có $\hat{A O H} = 60^{0} \Rightarrow Δ A O H$ đều
$\Rightarrow O H = \frac{1}{2} O A = \frac{R}{2}$ và $A H = \frac{\sqrt{3}}{2} O A = \frac{R \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A B = 2 A H = \frac{R \sqrt{3}}{2} .2 = R \sqrt{3}$

$O H = \frac{R}{\sqrt{2}}, O C = R \Rightarrow O H = \frac{1}{2} O C \Rightarrow H$ là trung điểm OC

c) Tứ giác OACB có hai đường chéo OC, AB vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow O B C A$ là hình thoi

Câu 3