Đề thi thử ĐGNL Đại học Khoa học và Công nghệ Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 2

\(\int\limits_0^2 {\left[ {f(x) - 3{x^2}} \right]} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 4 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x - \int\limits_0^2 {3{x^2}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 4 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x - 8 = 4\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 12\). Chọn C.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow {AB}  = (3 - 1;1 - ( - 2);1 - 3) = (2;3; - 2)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(1, - 2,3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = (2,3, - 2)\) là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\). Chọn B.

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^4} = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^5}\).

Khi đó, \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm kép \(x = 0;\,x =  - 2\) và nghiệm bội lẻ \(x = 1\) nên hàm số có một điểm cực trị \(x = 1\). Chọn C.

Ta có \(S{A^2} = S{C^2} - A{C^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 9 \Rightarrow SA = 3\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {3^2} = 9\). Chọn B.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), do \(ABCD\) là tứ diện đều nên ta có \(AM \bot CD\,\), \(BM \bot CD\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\). Chọn D.

 \(y' = \frac{1}{3}{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{\frac{1}{3} - 1}} \cdot {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^\prime } = \frac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}}}\). Chọn B.

Vì \(I \in d\) nên \(I\left( {2t;1 + t; - 2 - t} \right)\).

Lại có \(d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {I,\left( \beta  \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2t + 2\left( {1 + t} \right) - 2\left( { - 2 - t} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {4t - 3\left( {1 + t} \right) - 6\left( { - 2 - t} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {6t + 7} \right|}}{3} = \frac{{\left| {7t + 7} \right|}}{7}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{6t + 7}}{3} = t + 1\\\frac{{6t + 7}}{3} =  - t - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{4}{3}\\t =  - \frac{{10}}{9}\end{array} \right.\).

Với \(t =  - \frac{4}{3} \Rightarrow {I_1}\left( { - \frac{8}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\);

Với \(t =  - \frac{{10}}{9} \Rightarrow {I_2}\left( { - \frac{{20}}{9}; - \frac{1}{9}; - \frac{8}{9}} \right)\).

Ta có \(d\left( {{I_1},\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| { - \frac{8}{3} + 2\left( { - \frac{1}{3}} \right) - 2\left( { - \frac{2}{3}} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\);

\(d\left( {{I_2},\left( \beta  \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( { - \frac{{20}}{9}} \right) - 3\left( { - \frac{1}{9}} \right) - 6\left( { - \frac{8}{9}} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{1}{9}\).

Vì \({R_1} > {R_2}\) nên \({R_1} = \frac{1}{3};{R_2} = \frac{1}{9}\). Khi đó \(\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = 3\). Chọn A.

\[{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x} + 1}} > 12\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} > 12\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} - 12 > 0\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} > 3\]\[ \Leftrightarrow {3^{ - \frac{1}{x}}} > 3\]\[ \Leftrightarrow  - \frac{1}{x} > 1\]\[ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{x} < 0\]\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{x} < 0\]\[ \Leftrightarrow  - 1 < x < 0\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left( { - 1;0} \right)\). Suy ra \(a =  - 1;b = 0\).

Do đó \(P = 3a + 10b =  - 3\). Chọn D.