Đề thi thử ĐGNL Đại học Khoa học và Công nghệ Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 4

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 4} \right) =  - 71\). Chọn C.

 \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực đại của hàm số \(f\left( x \right)\) bằng \(f\left( 1 \right)\). Chọn B.

Gọi \(x\) là cạnh của khối lập phương. Khi đó \({x^3} = 3{a^3}\sqrt 3  \Rightarrow x = a\sqrt 3 \). Chọn A.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(C\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) nhận vectơ pháp tuyến của \(\left( {ABD} \right)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;3} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_{ABD}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 4; - 3; - 1} \right)\). Suy ra loại đáp án A và C.

Thay tọa độ điểm \(C\left( {2; - 1;3} \right)\) vào phương án D, ta thấy thỏa mãn. Chọn D.

\(\log _a^2\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) \cdot {\log _a}\left( {ab} \right) - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}{a^2} - {{\log }_a}b} \right)^2} \cdot \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right) - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {4 - 4{{\log }_a}b + {{\left( {{{\log }_a}b} \right)}^2}} \right] \cdot \left( {1 + {{\log }_a}b} \right) - 4 = 0\)\[ \Leftrightarrow 4 - 4{\log _a}b + {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} + 4{\log _a}b - 4{\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} + {\left( {{{\log }_a}b} \right)^3} - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow  - 3{\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} + {\left( {{{\log }_a}b} \right)^3} = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b = 0\left( {KTM} \right)\\{\log _a}b = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\].

Có \({\left( {{{\log }_b}a} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)^2} = \frac{1}{9}\). Chọn A.

Ta có đồ thị \(g\left( x \right)\) giao với trục hoành \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }} = 0\) với \(f\left( x \right) > 0\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\\x = {x_3}\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {g\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} \right|dx}  = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} \right|dx}  + \int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\left| {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}} \right|dx} \) \( = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}dx} } \right|\)

\( = \left| {\left. {2\sqrt {f\left( x \right)} } \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| + \left| {\left. {2\sqrt {f\left( x \right)} } \right|_{{x_2}}^{{x_3}}} \right|\)\( = 2\left( {\left| {\sqrt {f\left( {{x_2}} \right)}  - \sqrt {f\left( {{x_1}} \right)} } \right| + \left| {\sqrt {f\left( {{x_3}} \right)}  - \sqrt {f\left( {{x_2}} \right)} } \right|} \right)\)\( = 2\left( {\left| {\sqrt {16}  - \sqrt 1 } \right| + \left| {\sqrt 9  - \sqrt {16} } \right|} \right) = 8\). Chọn C.