Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội

Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\(A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.\)

Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{7}{{13}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

 \[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]

 \[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9\) thì \[B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(P = AB = \frac{7}{{\sqrt x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(\sqrt x \ge 0,\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ge 3\) nên \(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}\) hay \(P \le \frac{7}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\) (thỏa mãn).

Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{7}{3}\) khi \(x = 0.\)

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Trong một ngày, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc), người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được \(\frac{1}{{12}}\) công việc. Khi đó, ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được \(4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}\) (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được \(14 \cdot \frac{1}{y} = \frac{{14}}{y}\) (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: \(\frac{1}{3} + \frac{{14}}{y} = 1\) hay \(\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}.\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2) suy ra \(y = \frac{{14 \cdot 3}}{2} = 21\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 21\) vào phương trình (1), ta được:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{21}} = \frac{1}{{12}},\) suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{28}}\) nên \(x = 28\) (thỏa mãn).

Xét phương trình \({x^2} - 3x + 2m = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 9 - 8m.\)

Để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta > 0,\) tức là \(9 - 8m > 0\) hay \(m < \frac{9}{8}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2m.\end{array} \right.\)

Theo bài, \(x_1^2 + x_2^2 = 5\)

\(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 5\)

\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5\)

\({3^2} - 2 \cdot 2m = 5\)

\(9 - 4m = 5\)

\(4m = 4\)

\(m = 1\) (thỏa mãn \(m < \frac{9}{8}).\)

Vậy \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.