Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng qua A cắt (O) tại B, cắt (O') tại $C\left(C\ne A\right)$

a) Chứng minh OB // O'C

b) Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), d' là tiếp tuyến tại C của (O'). Chứng minh rằng d // d'.

a) Ta có: $OA+O\text{'}A>OO\text{'}\left(12+5>13\right)\Rightarrow \left(O\right)$ và (O’) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) Ta có: $O{A}^2+O\text{'}{A}^2=5^2+{12}^2=169={13}^2=OO{\text{'}}^2$$\Rightarrow \Delta OAO\text{'}$ vuông tại A (định lý Pytago đảo)$\Rightarrow OA\perp O\text{'}A$

Vì $A\in \left(O\text{'}\right)\Rightarrow OA$ là tiếp tuyến của (O’)

Gọi $M=AB\cap OO\text{'}$

Theo tính chất 2 đường tròn cắt nhau $\Rightarrow AB$ là đường trung trực $OO\text{'}\Rightarrow M$ là trung điểm $OO\text{'}.\Delta OAO\text{'}$ vuông tại A, có AM đường cao

$\Rightarrow \frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{A{O}^2}+\frac{1}{AO{\text{'}}^2}$ (hệ thức lượng) hay $\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{{12}^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow AM=\frac{60}{13}\left(cm\right)$

b) Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm mà $\left(D_m\right)$ y = mx + m + 2 luôn đi qua

$\begin{array}{l}\Rightarrow y_0=m{x}_0+m+2\\ \iff m{x}_0+m=y_0+2\iff m\left(x_0+1\right)=y_0+2(*)\end{array}$

Phương trình (*) luôn thỏa mãn $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0+1=0\\ y_0+2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ y_0=-2\end{array}\right.$

Vậy M(-1; -2) là điểm mà $\left(D_m\right)$ luôn đi qua .

 $\begin{array}{l}c)B\in \left(d\right)y=-x+4\Rightarrow B\left(x_B;4-x_B\right)\\ AB=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(1-x_B\right)}^2+{\left(4-4+x_B\right)}^2}\\ =\sqrt{1-2x_B+2x_B^2}\end{array}$

AB ngắn nhất $\iff 2x_B^2-2x_B+1$ nhỏ nhất

$\iff {\left(\sqrt{2}{x}_B\right)}^2-2.\sqrt{2}{x}_B.\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ nhỏ nhất

$\iff {\left[\sqrt{2}{x}_B-1\right]}^2+\frac{1}{2}\ge 0$ $\Rightarrow MinAB=\frac{1}{2}\iff \sqrt{2}{x}_B-\frac{1}{2}=0\iff x_B=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Vậy $B\left(\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{16-\sqrt{2}}{4}\right)$ thì $A{B}_{\min }=\frac{1}{2}$