Cho hai đường tròn (O; 12cm) và (O'; 5cm), OO' = 13cm.

a) Chứng tỏ rằng hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O'). Chứng minh rằng OA là tiếp tuyến của đường tròn (O'). Tính độ dài AB.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 15 !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hai đường tròn (O; 12cm) và (O'; 5cm), OO' = 13cm. a) Chứng tỏ rằng (ảnh 1)

a) Ta có: $O A + O' A > O O' (12 + 5 > 13) \Rightarrow (O)$ và (O’) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) Ta có: $O A^{2} + O' A^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 = 13^{2} = O O'^{2}$ $\Rightarrow Δ O A O'$ vuông tại A (định lý Pytago đảo) $\Rightarrow O A ⊥ O' A$

Vì $A \in (O') \Rightarrow O A$ là tiếp tuyến của (O’)

Gọi $M = A B \cap O O'$

Theo tính chất 2 đường tròn cắt nhau $\Rightarrow A B$ là đường trung trực $O O' \Rightarrow M$ là trung điểm $O O' . Δ O A O'$ vuông tại A, có AM đường cao

$\Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A O^{2}} + \frac{1}{A O'^{2}}$ (hệ thức lượng) hay $\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{12^{2}} + \frac{1}{5^{2}} \Rightarrow A M = \frac{60}{13} (c m)$

\Rightarrow A B = 2 A M = 2. \frac{60}{13} = \frac{120}{13} (c m)

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng qua A cắt (O) tại B, cắt (O') tại $C (C \neq A)$

a) Chứng minh OB // O'C

b) Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), d' là tiếp tuyến tại C của (O'). Chứng minh rằng d // d'.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng qua A cắt (O) (ảnh 1)

O A = O B (= R) \Rightarrow Δ O A B

cân tại O

\Rightarrow \hat{O B A} = \hat{O A B}, c m t t \Rightarrow \hat{O' A C} = \hat{O' C A}

Mà $\hat{O B A} = \hat{O' C A}$ (đối đỉnh), do đó: $\hat{O B A} = \hat{O' C A} \Rightarrow O B / / O' C$

$d ⊥ O B$ (d là tiếp tuyến tại B của (O)) $\Rightarrow O B / / O' C \Rightarrow d ⊥ O' C$ (d' là tiếp tuyến tại (C) của (O')). Do đó d // d'.

Câu 2

Cho đường thẳng $y = m x + m + 2 (D_{m})$ điểm A(1; 4), đường thẳng y = -x + 4 (d)

a) Xác định m để $(D_{m}) / / (d)$

b) Chứng minh đường thẳng $(D_{m})$ luôn đi qua điểm cố định

c) Tìm trên (d) điểm B sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

Xem đáp án

Lời giải

a) $(D_{m}) : y = m x + m + 2 / / (d) : y = - x + 4$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 1 \\ m + 2 \neq 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 1 \\ m \neq 2 \end{cases} \Rightarrow m = - 1$

b) Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là điểm mà $(D_{m})$ y = mx + m + 2 luôn đi qua

$\begin{array}{l} \Rightarrow y_{0} = m x_{0} + m + 2 \\ \Leftrightarrow m x_{0} + m = y_{0} + 2 \Leftrightarrow m (x_{0} + 1) = y_{0} + 2 (*) \end{array}$

Phương trình (*) luôn thỏa mãn $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0} + 1 = 0 \\ y_{0} + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{0} = - 1 \\ y_{0} = - 2 \end{cases}$

Vậy M(-1; -2) là điểm mà $(D_{m})$ luôn đi qua .

$\begin{array}{l} c) B \in (d) y = - x + 4 \Rightarrow B (x_{B}; 4 - x_{B}) \\ A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(1 - x_{B})}^{2} + {(4 - 4 + x_{B})}^{2}} \\ = \sqrt{1 - 2 x_{B} + 2 x_{B}^{2}} \end{array}$

AB ngắn nhất $\Leftrightarrow 2 x_{B}^{2} - 2 x_{B} + 1$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow {(\sqrt{2} x_{B})}^{2} - 2. \sqrt{2} x_{B} . \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow {[\sqrt{2} x_{B} - 1]}^{2} + \frac{1}{2} \geq 0$ $\Rightarrow M i n A B = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{2} x_{B} - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x_{B} = \frac{\sqrt{2}}{4}$