Cho số phức z thỏa mãn ($\overline{z}$+ 2i). (z − 4) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i). z + 1 − 2i là đường tròn có bán kính bằng:

Đáp án đúng là: D

Giả sử: z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ $\overline{z}$= a – bi

Þ $\overline{z}$. z  = (a + bi)(a – bi) = a² + b²

Ta có: ( + 2i). (z − 4)

= $\overline{z}$. z – 4 + 2iz – 8i

= a² + b² – 4. (a – bi) + 2i. (a + bi) – 8i

= a² + b² – 4a + 4bi + 2ai + 2bi² – 8i

= a² + b² – 4a – 2b + (4b + 2a – 8). i

Vì ($\overline{z}$ + 2i). (z − 4) là số thuần ảo nên a² + b² – 4a – 2b = 0

Û (a – 2)² + (b – 1)² = 5

Û |a – 2 + (b – 1).i|  = $\sqrt{5}$

Û |a + bi – 2 – i| = $\sqrt{5}$

Û |z – 2 – i| = $\sqrt{5}$

Ta có: w = (1 + i). z + 1 − 2i

Þ w = (1 + i). z – (1 + i).(2 + i) + 1 − 2i + (1 + i).(2 + i)

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + i + 2i + i²

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + 3i – 1

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 2 + i

Þ w – 2 – i = (1 + i). (z – 2 – i)

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i). (z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i)|. |(z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = $\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{5}=\sqrt{10}$

Gọi w = x + yi

Þ |x + yi − 2 – i| = $\sqrt{10}$

Þ |x – 2 + (y – 1)i| = $\sqrt{10}$

Þ (x − 2)² + (y – 1)² = 10

Vậy nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i). z + 1 − 2i là đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{10}$