Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là: D

Ta có BF = 2BE (giả thiết). Suy ra BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

Do đó ED = DF.

Suy ra D là trung điểm của EF.

Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.

Vì K là trung điểm CF (giả thiết).

Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.

∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.

Do đó đáp án A đúng.

Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên $\frac{GC}{DC}=\frac{2}{3}$ và $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm)

Do đó đáp án C đúng.

Ta có $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{GE}{GK}=2$.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Ta xét đáp án A:

Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD.

Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó $\frac{GD}{GB}=\frac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm)

Nên GB = 2GD.

Khi đó ta có BG = 2GD = GM.

Do đó đáp án A đúng.

Ta xét đáp án B:

Chứng minh tương tự đáp án A, ta được CG = GN.

Xét ∆GMN và ∆GBC, có:

GM = GB (chứng minh trên).

CG = GN (chứng minh trên).

$\widehat{MGN}=\widehat{BGC}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆GMN = ∆GBC (c.g.c).

Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án B đúng.

Ta xét đáp án C:

Ta có ∆GMN = ∆GBC (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{GMN}=\widehat{GBC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Ta suy ra MN // BC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.