Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AD+BE+CF>34AB+BC+AC; B. AD+BE+CF=34AB+BC+AC; C. AD + BE + CF < AB + BC + AC; D. Đáp án A, C đúng.

Câu hỏi:

18/08/2022 851

Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $A D + B E + C F > \frac{3}{4} (A B + B C + A C)$ ;

A D + B E + C F = \frac{3}{4} (A B + B C + A C)

;

C. AD + BE + CF < AB + BC + AC;

D. Đáp án A, C đúng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 15 câu Trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Ta xét đáp án A, B:

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có $G B = \frac{2}{3} B E$ và $G C = \frac{2}{3} C F$ .

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3} B E + \frac{2}{3} C F > B C$ .

Do đó $\frac{2}{3} (B E + C F) > B C$ .

Khi đó $B E + C F > \frac{3}{2} B C$ (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) $A D + B E > \frac{3}{2} A B$ (2).

+) $A D + C F > \frac{3}{2} A C$ (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: $2 A D + 2 B E + 2 C F > \frac{3}{2} A B + \frac{3}{2} B C + \frac{3}{2} A C$ .

Suy ra $2 (A D + B E + C F) > \frac{3}{2} (A B + B C + A C)$ .

Do đó $A D + B E + C F > \frac{3}{4} (A B + B C + A C)$ .

Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.

Ta xét đáp án C:

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’.

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).

$\hat{A D B} = \hat{A^{'} D B}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC (5).

+) 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ∆ABC, D là trung điểm của AC. Trên cạnh BD lấy điểm E sao cho BE = 2ED. Lấy điểm F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF = 2BE. Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK với AC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. G là trọng tâm của ∆EFC;

\frac{G E}{G K} = 2

;

\frac{G C}{D C} = \frac{2}{3}

;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Ta có BF = 2BE (giả thiết). Suy ra BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

Do đó ED = DF.

Suy ra D là trung điểm của EF.

Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.

Vì K là trung điểm CF (giả thiết).

Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.

∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.

Do đó đáp án A đúng.

Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên $\frac{G C}{D C} = \frac{2}{3}$ và $\frac{G K}{G E} = \frac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm)

Do đó đáp án C đúng.

Ta có $\frac{G K}{G E} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{G E}{G K} = 2$ .

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 2

Cho ∆ABC, đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho $D K = \frac{1}{3} A D$ . Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK, cắt AC tại M. Gọi G là giao điểm của BM và AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $D G = \frac{1}{2} A D$ ;

B. MA < MC;

C. ∆BDG = ∆CDK;

D. BG > CK.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Media VietJack

∆ABC có đường trung tuyến AD nên D là trumg điểm của BC

Do đó DB = DC.

Xét ∆BDG và ∆CDK, có:

BD = CD (chứng minh trên)

$\hat{B D G} = \hat{C D K}$ (hai góc đối đỉnh).

$\hat{G B D} = \hat{K C D}$ (hai góc so le trong của BM // CK).

Do đó ∆BDG = ∆CDK (g.c.g).

Suy ra đáp án C đúng.

Ta có ∆BDG = ∆CDK (chứng minh trên).

Suy ra BG = CK và DG = DK = $\frac{1}{3} A D \neq \frac{1}{2} A D$ .

Do đó đáp án A, D sai.

∆ABC có điểm G nằm trên đường trung tuyến AD.

Mà $G D = \frac{1}{3} A D$ .

Nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Lại có đường thẳng BM đi qua điểm G

Suy ra BM là đường trung tuyến của ∆ABC.

Khi đó M là trung điểm AC.

Suy ra MA = MC.

Do đó đáp án B sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 3

Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DB, lấy điểm M sao cho DM = DG. Trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho EN = EG. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. BG = GM;

B. MN = BC;

C. MN // BC;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Biết BE = CF. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆BCG cân tại G;

B. ∆ABC cân tại A;

C. AG ⊥ BC;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. BD = CE;

B. ∆GBC cân;

C. GD + GE >

\frac{1}{2} B C

;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho ∆ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm BD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. G là trọng tâm của ∆ABD;

B. G là trung điểm của AE;

C. Ba điểm A, G, E thẳng hàng;

D. Đường thẳng DG đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho ∆ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khẳng định nào sau đây sai?

A. ∆ABM = ∆ACM;

B. AM ⊥ BC;

C. MB = MC;

\hat{B A M} < \hat{C A M}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho ∆ABC, D là trung điểm của AC. Trên cạnh BD lấy điểm E sao cho BE = 2ED. Lấy điểm F thuộc tia đối của tia DE sao cho BF = 2BE. Gọi K là trung điểm của CF và G là giao điểm của EK với AC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC, đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho DK=13AD. Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK, cắt AC tại M. Gọi G là giao điểm của BM và AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DB, lấy điểm M sao cho DM = DG. Trên tia đối của tia EG lấy điểm N sao cho EN = EG. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Biết BE = CF. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Cho ∆ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG = 2GC. Lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm BD. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho ∆ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khẳng định nào sau đây sai?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho ∆ABC, đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho $D K = \frac{1}{3} A D$ . Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK, cắt AC tại M. Gọi G là giao điểm của BM và AD. Khẳng định nào sau đây đúng?