Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ;
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta xét đáp án A, B:
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có và .
∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).
Suy ra .
Do đó .
Khi đó (1).
Chứng minh tương tự ta được:
+) (2).
+) (3).
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: .
Suy ra .
Do đó .
Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.
Ta xét đáp án C:
Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.
Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:
DA = DA’.
BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).
(hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).
Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.
Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).
Chứng minh tương tự, ta được:
+) 2BE < AB + BC (5).
+) 2CF < AC + BC (6).
Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.
Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).
Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.
Vậy đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. G là trọng tâm của ∆EFC;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có BF = 2BE (giả thiết). Suy ra BE = EF.
Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.
Do đó ED = DF.
Suy ra D là trung điểm của EF.
Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.
Vì K là trung điểm CF (giả thiết).
Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.
∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.
Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.
Do đó đáp án A đúng.
Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên và (tính chất trọng tâm)
Do đó đáp án C đúng.
Ta có
Suy ra .
Do đó đáp án B đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 2
A. BG = GM;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta xét đáp án A:
Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD.
Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.
Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC.
Do đó (tính chất trọng tâm)
Nên GB = 2GD.
Khi đó ta có BG = 2GD = GM.
Do đó đáp án A đúng.
Ta xét đáp án B:
Chứng minh tương tự đáp án A, ta được CG = GN.
Xét ∆GMN và ∆GBC, có:
GM = GB (chứng minh trên).
CG = GN (chứng minh trên).
(hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆GMN = ∆GBC (c.g.c).
Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng).
Do đó đáp án B đúng.
Ta xét đáp án C:
Ta có ∆GMN = ∆GBC (chứng minh trên).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Ta suy ra MN // BC.
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 3
A. ∆BCG cân tại G;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. ;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. G là trọng tâm của ∆ABD;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. BD = CE;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. ∆ABM = ∆ACM;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập