Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ AH ⊥ BC. Tia phân giác $\widehat{HAC}$ cắt BC tại K. Các đường phân giác của $\widehat{BAH}$ và $\widehat{BHA}$ cắt nhau tại O. Gọi M là trung điểm của AK. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là: B

Ta có ∆ABC vuông tại A nên $\widehat{BAK}+\widehat{KAC}=90°$ (do $\widehat{BAC}=90°$)

∆AHK vuông tại H nên $\widehat{BKA}+\widehat{KAH}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Mà $\widehat{KAC}=\widehat{KAH}$ (do AK là phân giác $\widehat{HAC}$).

Suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{BKA}$.

Do đó ∆BAK cân tại B.

Vì vậy đáp án A, C sai.

Xét ∆BAH có O là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh A và đỉnh H.

Suy ra BO là đường phân giác thứ ba (xuất phát từ đỉnh B) của ∆BAH.

Do đó BO là tia phân giác của $\widehat{ABK}$  (1).

Xét ∆ABM và ∆KBM, có:

BM là cạnh chung.

BA = BK (do ∆BAK cân tại B)

AM = MK (do M là trung điểm AK)

Do đó ∆ABM = ∆KBM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{KBM}$ (cặp góc tương ứng)

Khi đó ta có BM là đường phân giác của ∆BAK.

Do đó BM cũng là tia phân giác của $\widehat{ABK}$  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra BO trùng với BM.

Do đó ba điểm B, O, M thẳng hàng.

Vì vậy đáp án B đúng, đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án B.