Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I ( I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Ta có: MEN = 360$°$ - ( MEH + NEH )

                     = 360$°$ - ( 180$°$ - ABC + 180$°$ - ACB)

                     = ABC + ACB = 180$°$ - BAC

Suy ra MEN + MAN = 180$°$ hay tứ giác AMEN là tứ giác nội tiếp.

Kẻ MK $\perp$ BC, giả sử HE cắt MN tại I thì IH là cát tuyến của hai đường tròn (BMH), (CNH).

Lại có MB = MH = MA (tính chất trung tuyến tam giác vuông). Suy ra tam giác MBH cân tại M.

=> KB = KH => MK luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH.

Hay MN là tiếp tuyến của (MBH) suy ra IM²= IE.IH                (1)

Tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (HNC) suy ra IN²= IE.IH.                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra IM = IN.

Vậy HE đi qua trung điểm của MN.

Gọi H là giao điểm của EF và AB. Vì E là trực tâm của $∆$ABF nên FH $\perp$ AB.

$∆$OCA cân tại O nên OCA = OAC (hai góc ở đáy).

Ta có CI là đường trung tuyến của tam giác vuông CEF nên CIB = CF. Do đó $∆$ICF cân tại I nên ICF = IFC (hai góc ở đáy).

=> ICF + OCA = IFC + OAC = 90$°$ (vì $∆$HAF vuông tại H).

=> ICO = 90$°$ => IC $\perp$ OC. Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).