Câu hỏi:
13/07/2024 320Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].
Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở bài trước.
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có các hệ thức sau:
\[2BD = 2BE = AB + BC - AC;{\rm{ }}2CE = 2CF = BC + AC - AB\]
Ví dụ 3: Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại hai đỉnh \[A\] và \[D\], ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\].
Tìm độ dài các cạnh \[AB\] và \[CD\], biết rằng \[OB = 6{\rm{ cm}}\] và \[OC = 8{\rm{ cm}}\].
Giải chi tiết
Do \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên các cạnh của hình thang \[ABCD\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\].
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \[BO\] và \[CO\] lần lượt là tia phân giác của góc \[\widehat {ABC},{\rm{ }}\widehat {BCD}\].
Xét \[\Delta BOC\] có: \[\widehat {OBC} + \widehat {OCB} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {BCD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].
Suy ra \[\Delta BOC\] vuông \[O\]. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông này ta có:
\[B{C^2} = O{B^2} + O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10{\rm{ cm}}\].
Giả sử đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với \[BC\] tại \[K\], suy ra \[OK \bot BC\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OBC\], với \[OK\] là đường cao, ta có:
\[\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}} \Rightarrow OK = \frac{{24}}{5}{\rm{ cm}}\].
Gọi \[E,F\] lần lượt là tiếp điểm của \[AB\] và \[CD\] với đường tròn \[\left( O \right)\].
Suy ra \[OE = OK = \frac{{24}}{5}\] (bán kính đường tròn \[\left( O \right)\]).
Kẻ \[BH \bot CD\left( {H \in CD} \right)\]. Ta thấy: \[BH = EF = 2OK = \frac{{48}}{5}{\rm{ cm}}\].
Tương tự, áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[HBC\] ta được \[HC = \frac{{14}}{5}{\rm{ cm}}\].
Ta có \[OE \bot AB\] (do \[AB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]). Mặt khác \[AO\] là tia phân giác của góc \[\widehat {DAB}\]
\[ \Rightarrow \widehat {OAE} = 45^\circ \].
Suy ra tam giác \[AOE\] vuông cân \[ \Rightarrow AE = OE = \frac{{24}}{5}{\rm{ cm}}\].
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[OEB\] ta được \[BE = \frac{{18}}{5}{\rm{ cm}}\].
Vậy \[AB = AE + EB = \frac{{24}}{5} + \frac{{18}}{5} = \frac{{42}}{5}{\rm{ cm}}\].
\[CD = DH + HC = AB + HC = \frac{{42}}{5} + \frac{{14}}{5} = \frac{{56}}{5}{\rm{cm}}\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh định lí: “Nếu một tứ giác \[ABCD\] có tổng các cạnh đối bằng nhau \[AB + CD = BC + AD\] thì tứ giác đó ngoại tiếp được một đường tròn” bằng cách chứng minh các tia phân giác của bốn góc \[A,B,C,D\] cùng gặp nhau tại một điểm.
Câu 2:
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,AC\] lần lượt tại \[D,E\].
Tính bán kính của đường tròn \[\left( O \right)\] biết \[AB = 3{\rm{ cm}},AC = 4{\rm{ cm}}\].
Câu 3:
Câu 4:
Tứ giác \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], đồng thời nội tiếp một đường tròn khác. \[AB = 14{\rm{ cm}},BC = 18{\rm{ cm}},CD = 26{\rm{ cm}}\]. Gọi \[H\] là tiếp điểm của \[CD\] và đường tròn \[\left( O \right)\]. Tính các độ dài \[HC,HD\].
Câu 5:
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].
Chứng minh rằng \[2AD = AB + AC - BC\].
Câu 6:
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,AC\] lần lượt tại \[D,E\].
Tứ giác \[ADOE\] là hình gì? Vì sao?
Câu 7:
Cho đường tròn tâm \[O\], các dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến với đường tròn tại \[A,B,C,D\] cắt nhau lần lượt tại \[E,F,G,H\]. Chứng minh rằng \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
23 câu Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Căn thức bậc hai có đáp án
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận