b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn 2yx2+3 là số nguyên.

b) Với a=0thì hệ ⇔x=0y=2, hệ có nghiệm. Với a≠0. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔1−a≠a1⇔−a2≠1⇔a2≠−1 (luôn đúng). Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi a. x+ay=3a−ax+y=2−a2⇔x=3a−ay−a3a−ay+y=2−a2⇔x=3a−aya2+1y=2a2+2⇔y=2x=a. (Vì a2+1>0 nên rút gọn được ta có y=2). Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x;y=a;2. Xét: A=2yx2+3=4a2+3 Ta có: a2+3≥3, ∀a⇒4a2+3≤43, ∀a⇒0<A≤43. Mà theo đề bài để A∈ℤ thì A=1⇒a2+3=4⇔a2=1⇔a=1a=−1. Vậy a=1 hoặc a= -1 thỏa mãn đề bài. Lưu ý: Đối với bài toán tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì ta đi tìm khoảng giá trị của biểu thức A, tìm các giá trị nguyên của A trong khoảng này rồi thay vào tìm a. Phân biệt với bài toán tìm a là số nguyên để A nhận giá trị nguyên thì khi đó mới có Ư (4).

Câu hỏi:

19/08/2025 2,357

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $\frac{2 y}{x^{2} + 3}$ là số nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Với a=0thì hệ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases}$ , hệ có nghiệm.

Với $a \neq 0$ . Hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{1}{- a} \neq \frac{a}{1} \Leftrightarrow - a^{2} \neq 1 \Leftrightarrow a^{2} \neq - 1$ (luôn đúng).

Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi a.

$\{\begin{cases} x + a y = 3 a \\ - a x + y = 2 - a^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 a - a y \\ - a (3 a - a y) + y = 2 - a^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 a - a y \\ (a^{2} + 1) y = 2 a^{2} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ x = a \end{cases}$ .

(Vì $a^{2} + 1 > 0$ nên rút gọn được ta có y=2).

Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $(x; y) = (a; 2)$ .

Xét: $A = \frac{2 y}{x^{2} + 3} = \frac{4}{a^{2} + 3}$

Ta có: $a^{2} + 3 \geq 3, \forall a \Rightarrow \frac{4}{a^{2} + 3} \leq \frac{4}{3}, \forall a \Rightarrow 0 < A \leq \frac{4}{3}$ .

Mà theo đề bài để $A \in ℤ$ thì $A = 1 \Rightarrow a^{2} + 3 = 4 \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - 1 \end{array}$ .

Vậy a=1 hoặc a= -1 thỏa mãn đề bài.

Lưu ý: Đối với bài toán tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì ta đi tìm khoảng giá trị của biểu thức A, tìm các giá trị nguyên của A trong khoảng này rồi thay vào tìm a. Phân biệt với bài toán tìm a là số nguyên để A nhận giá trị nguyên thì khi đó mới có Ư (4).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x - y = 3 - m \\ x - m y = 2 m \end{cases}$ (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Với m=0, ta có hệ: $\{\begin{cases} y = - 3 \\ x = 0 \end{cases}$ . Hệ có nghiệm duy nhất.

Với $m \neq 0$ , hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{m}{1} \neq \frac{- 1}{- m} \Leftrightarrow m^{2} \neq 1 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$ .

Vậy với $m \neq \pm 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

$\{\begin{cases} m x - y = 3 - m \\ x - m y = 2 m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = m x + m - 3 \\ x - m (m x + m - 3) = 2 m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = m x + m - 3 \\ (1 - m^{2}) x = m^{2} - m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{m}{m + 1} \\ y = \frac{- m^{2}}{m + 1} + m - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{m}{m + 1} \\ y = \frac{- 2 m - 3}{m + 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 + \frac{1}{m + 1} \\ y = - 2 - \frac{1}{m + 1} \end{cases}$ .

Cộng hai vế của hai phương trình ta khử được tham số m. Hệ thức cần tìm là $x + y = - 3$ .

Câu 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 5$ .

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì $\frac{3}{1} \neq \frac{- 1}{2}$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $(x; y)$ .

$\{\begin{cases} 3 x - y = 2 m + 3 \\ x + 2 y = 3 m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x - 2 y = 4 m + 6 \\ x + 2 y = 3 m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 7 m + 7 \\ 3 x - y = 2 m + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = m + 1 \\ y = 3 (m + 1) - 2 m - 3 = m \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (m + 1; m)$ .

Theo đề bài, ta có: $x^{2} + y^{2} = 5$

$\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} + m^{2} = 5 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow 2 (m - 1) (m + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$ .

Vậy m= 1 hoặc m = -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 3