b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $\frac{2y}{x^2+3}$ là số nguyên.

b) Với a=0thì hệ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$, hệ có nghiệm.

Với $a\ne 0$. Hệ có nghiệm duy nhất $\iff \frac{1}{-a}\ne \frac{a}{1}\iff -a^2\ne 1\iff a^2\ne -1$ (luôn đúng).

Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi a.

$\left\{\begin{array}{l}x+ay=3a\\ -ax+y=2-a^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3a-ay\\ -a\left(3a-ay\right)+y=2-a^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3a-ay\\ \left(a^2+1\right)y=2a^2+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2\\ x=a\end{array}\right.$.

(Vì $a^2+1>0$ nên rút gọn được ta có y=2).

Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(a;2\right)$.

Xét: $A=\frac{2y}{x^2+3}=\frac{4}{a^2+3}$

Ta có: $a^2+3\ge \mathrm{3,}\forall \text{a}\Rightarrow \frac{4}{a^2+3}\le \frac{4}{3},\forall \text{a}\Rightarrow 0<A\le \frac{4}{3}$.

Mà theo đề bài để $A\in \mathbb{Z}$ thì $A=1\Rightarrow a^2+3=4\iff a^2=1\iff \left[\begin{array}{l}a=1\\ a=-1\end{array}\right.$.

Vậy a=1  hoặc a= -1 thỏa mãn đề bài.

Lưu ý: Đối với bài toán tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì ta đi tìm khoảng giá trị của biểu thức A, tìm các giá trị nguyên của A trong khoảng này rồi thay vào tìm a. Phân biệt với bài toán tìm a là số nguyên để A nhận giá trị nguyên thì khi đó mới có Ư (4).