Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=2m-1\\ x+2y=3m+2\end{array}\right.$ (m là tham số).

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x^2+y^2=13$.

Giải chi tiết

Với m=0, ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}y=-3\\ x=0\end{array}\right.$. Hệ có nghiệm duy nhất.

Với $m\ne 0$, hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{m}{1}\ne \frac{-1}{-m}\iff m^2\ne 1\iff m\ne \pm 1$.

Vậy với $m\ne \pm 1$thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

$\left\{\begin{array}{l}m\text{x}-y=3-m\\ x-my=2m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=m\text{x}+m-3\\ x-m\left(m\text{x}+m-3\right)=2m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx+m-3\\ \left(1-m^2\right)x=m^2-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{m}{m+1}\\ y=\frac{-m^2}{m+1}+m-3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{m}{m+1}\\ y=\frac{-2m-3}{m+1}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{m+1}\\ y=-2-\frac{1}{m+1}\end{array}\right.$.

Cộng hai vế của hai phương trình ta khử được tham số m. Hệ thức cần tìm là $x+y=-3$.

b) Vì $\frac{3}{1}\ne \frac{-1}{2}$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=2m+3\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=4m+6\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7\text{x}=7m+7\\ 3\text{x}-y=2m+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1\\ y=3\left(m+1\right)-2m-3=m\end{array}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(m+1;m\right)$.

Theo đề bài, ta có: $x^2+y^2=5$

$\iff {\left(m+1\right)}^2+m^2=5\iff 2m^2+2m-4=0\iff 2\left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}\right.$.

Vậy m= 1 hoặc m = -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.