Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+2\text{x}=y\text{ }\left(1\right)\\ y^3+2y=x\left(2\right)\end{array}\right.$.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4y^2=5\\ \left(x+2y\right)\left(5+4\text{x}y\right)=27\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(2y\right)}^2=5\\ \left(x+2y\right)\left(5+2.x.2y\right)=27\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+2y\right)}^2-2\left(2\text{x}y\right)=5\\ \left(x+2y\right)\left(5+2.2xy\right)=27\end{array}\right.$

Đặt $a=x+2;b=2\text{x}y$ (điều kiện: $a^2\ge 4b$) ta được

          $\left\{\begin{array}{l}{a}^2-2b=5\\ a\left(5+2b\right)=27\end{array}\right.\iff a=3;b=2$.

x và 2y là nghiệm của hai phương trình bậc hai: $X^2-3\text{X}+2=0\iff \left[\begin{array}{l}X=1\\ X=2\end{array}\right.$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(1;1\right),\left(2;\frac{1}{2}\right)$.

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-2\text{x}y+xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.$

Đặt $S=x+y;P=xy$. Điều kiện: $S^2\ge 4P$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{S}^2-P=3\\ S=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S=2\\ 4-P=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S=2\\ P=1\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^2-2\text{X}+1=0\iff {\left(X-1\right)}^2=0\iff X=1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(1;1\right)$.