Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4y^2=5\\ \left(x+2y\right)\left(5+4\text{x}y\right)=27\end{array}\right.$.

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-2\text{x}y+xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.$

Đặt $S=x+y;P=xy$. Điều kiện: $S^2\ge 4P$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{S}^2-P=3\\ S=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S=2\\ 4-P=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S=2\\ P=1\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^2-2\text{X}+1=0\iff {\left(X-1\right)}^2=0\iff X=1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(1;1\right)$.

Giải chi tiết

Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}\right.$ .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3\text{x}=\frac{x^2+2}{y^2}\\ 3y=\frac{y^2+2}{x^2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3\text{x}{y}^2=x^2+2\left(1\right)\\ 3y{x}^2=y^2+2\left(2\right)\end{array}\right.$.

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

$3\text{x}{y}^2-3y{x}^2=x^2-y^2\iff 3xy\left(y-x\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\iff \left(x-y\right)\left(3xy+x+y\right)=0$

Vì $x>\mathrm{0,}y>0\Rightarrow 3\text{x}y+x+y>0$

$\Rightarrow x=y$.

Với x=y  thay vào (1) ta được: $3{\text{x}}^3-x^2-2=0\iff \left(x-1\right)\left(3{\text{x}}^2+2\text{x}+2\right)=0\iff x=1\Rightarrow y=1$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).