Chủ đề 2: Một số hệ phương trình quy về hệ bậc nhất có đáp án

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-2\text{x}y+xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-xy=3\\ x+y=2\end{array}\right.$

Đặt $S=x+y;P=xy$. Điều kiện: $S^2\ge 4P$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{S}^2-P=3\\ S=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S=2\\ 4-P=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S=2\\ P=1\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^2-2\text{X}+1=0\iff {\left(X-1\right)}^2=0\iff X=1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(1;1\right)$.

Giải chi tiết

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ \left(x+1\right)\left(y+1\right)=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^2-2\text{x}y=10\\ xy+x+y+1=8\end{array}\right.$

Đặt $S=x+y;P=xy$. Điều kiện: $S^2\ge 4P$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}{S}^2-2P=10\\ P+S+1=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{S}^2-2P=10\\ P=7-S\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{S}^2-2\left(7-S\right)=10\\ P=7-S\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{S}^2+2S-24=0\\ P=7-S\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}S=4\\ P=3\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}S=-6\\ P=13\end{array}\right.$.

Mà $S^2\ge 4P\Rightarrow S=\mathrm{4,}P=3$ thỏa mãn.

Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình bậc hai

                    $X^2-4\text{X}+3=0\iff \left(X-1\right)\left(X-3\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}X=1\\ X=3\end{array}\right.$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(1;3\right),\left(3;1\right)$.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x\ge 0;y\ge 0$.

Đặt $S=\sqrt{x}+\sqrt{y};\text{ P}=\sqrt{xy}$. Điều kiện: $S^2\ge 4P$ và $S\ge 0;P\ge 0$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}S+4P=16\\ S^2-2P=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S+4P=16\\ 2{\text{S}}^2-4P=20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}S+4P=16\\ 2{\text{S}}^2+S-36=0\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}S=4\\ P=3\end{array}\right.$  (thỏa mãn ) hoặc $\left\{\begin{array}{l}S=-\frac{9}{2}\\ P=\frac{41}{8}\end{array}\right.$  (loại).

Khi đó $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình bậc hai.

$X^2-4X+3=0\iff \left(X-1\right)\left(X-3\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}X=1\\ X=3\end{array}\right.$.

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$x^2-y^2-3\text{x}+3y=-2y+2\text{x}\iff \left(x-y\right)\left(x+y\right)-5\left(x-y\right)=0\iff \left(x-y\right)\left(x+y-5\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=y\\ x=5-y\end{array}\right.$

Với $x=y$ thay vào (1) ta được: $y^2-y=0\iff y\left(y-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}y=0\Rightarrow x=0\\ y=1\Rightarrow x=1\end{array}\right.$.

Với $x=5-y$ thay vào (1) ta được: $\begin{array}{l}{y}^2-3y=-2\left(5-y\right)\iff y^2-3y=-10+2y\\ \iff y^2-5y+10=0\end{array}$ (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $\left(x;y\right)\in \left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right)\right\}$.

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l}{x}^3-y^3+3\text{x}-3y=0\iff \left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy+3=0\right)\\ \iff \left(x-y\right)\left[{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}+3\right]=0\iff y=x\end{array}$

Với $y=x$ thay vào (1) ta được: $x^3+x=0\iff x=0$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;0 ).

Giải chi tiết

Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}\right.$ .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}3\text{x}=\frac{x^2+2}{y^2}\\ 3y=\frac{y^2+2}{x^2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3\text{x}{y}^2=x^2+2\left(1\right)\\ 3y{x}^2=y^2+2\left(2\right)\end{array}\right.$.

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

$3\text{x}{y}^2-3y{x}^2=x^2-y^2\iff 3xy\left(y-x\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\iff \left(x-y\right)\left(3xy+x+y\right)=0$

Vì $x>\mathrm{0,}y>0\Rightarrow 3\text{x}y+x+y>0$

$\Rightarrow x=y$.

Với x=y  thay vào (1) ta được: $3{\text{x}}^3-x^2-2=0\iff \left(x-1\right)\left(3{\text{x}}^2+2\text{x}+2\right)=0\iff x=1\Rightarrow y=1$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).