Chủ đề 2: Một số hệ phương trình quy về hệ bậc nhất có đáp án

28 người thi tuần này 4.6 2.6 K lượt thi 18 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - P = 3 \\ S = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ 4 - P = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ P = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - 2 X + 1 = 0 \Leftrightarrow {(X - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow X = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 1)$ .

Câu 2

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y = 10 \\ x y + x + y + 1 = 8 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - 2 P = 10 \\ P + S + 1 = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} - 2 P = 10 \\ P = 7 - S \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} - 2 (7 - S) = 10 \\ P = 7 - S \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} + 2 S - 24 = 0 \\ P = 7 - S \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} S = - 6 \\ P = 13 \end{cases}$ .

Mà $S^{2} \geq 4 P \Rightarrow S = 4, P = 3$ thỏa mãn.

Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình bậc hai

$X^{2} - 4 X + 3 = 0 \Leftrightarrow (X - 1) (X - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 3 \end{array}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 3), (3; 1)$ .

Câu 3

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + 4 \sqrt{x y} = 16 \\ x + y = 10 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x \geq 0; y \geq 0$ .

Đặt $S = \sqrt{x} + \sqrt{y}; P = \sqrt{x y}$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ và $S \geq 0; P \geq 0$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ S^{2} - 2 P = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ 2 S^{2} - 4 P = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ 2 S^{2} + S - 36 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases}$ (thỏa mãn ) hoặc $\{\begin{cases} S = - \frac{9}{2} \\ P = \frac{41}{8} \end{cases}$ (loại).

Khi đó $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình bậc hai.

$X^{2} - 4 X + 3 = 0 \Leftrightarrow (X - 1) (X - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 3 \end{array}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

(1; 9), (9; 1)

Câu 4

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} - 3 x = - 2 y (1) \\ y^{2} - 3 y = - 2 x (2) \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$x^{2} - y^{2} - 3 x + 3 y = - 2 y + 2 x \Leftrightarrow (x - y) (x + y) - 5 (x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x + y - 5) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y \\ x = 5 - y \end{array}$

Với $x = y$ thay vào (1) ta được: $y^{2} - y = 0 \Leftrightarrow y (y - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = 1 \Rightarrow x = 1 \end{array}$ .

Với $x = 5 - y$ thay vào (1) ta được: $\begin{array}{l} y^{2} - 3 y = - 2 (5 - y) \Leftrightarrow y^{2} - 3 y = - 10 + 2 y \\ \Leftrightarrow y^{2} - 5 y + 10 = 0 \end{array}$ (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x; y) \in \{(0; 0), (1; 1)\}$ .

Câu 5

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} + 2 x = y (1) \\ y^{3} + 2 y = x (2) \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l} x^{3} - y^{3} + 3 x - 3 y = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x^{2} + y^{2} + x y + 3 = 0) \\ \Leftrightarrow (x - y) [{(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4} + 3] = 0 \Leftrightarrow y = x \end{array}$