Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số).

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức $A = x y + 2 (x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải chi tiết

Nhận xét: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = S^{2} - 2 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S = m \\ S^{2} - 2 P = - m^{2} + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = m \\ P = m^{2} - 3 \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ khi và chỉ khi

$S^{2} \geq 4 P \Leftrightarrow m^{2} \geq 4 m^{2} - 12 \Leftrightarrow 3 m^{2} \leq 12 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$ .

Ta có: $A = x y + 2 (x + y) = m^{2} - 3 + 2 m = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$ .

Vì $- 2 \leq m \leq 2 \Leftrightarrow - 1 \leq m + 1 \leq 3 \Leftrightarrow 0 \leq {(m + 1)}^{2} \leq 9$

$\Rightarrow - 4 \leq A \leq 5$ .

Giá trị nhỏ nhất của A là -4 đạt được khi $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - P = 3 \\ S = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ 4 - P = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ P = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - 2 X + 1 = 0 \Leftrightarrow {(X - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow X = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 1)$ .

Câu 2

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có $\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x y^{2} = x^{2} + 2 (1) \\ 3 y x^{2} = y^{2} + 2 (2) \end{cases}$ .

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

$3 x y^{2} - 3 y x^{2} = x^{2} - y^{2} \Leftrightarrow 3 x y (y - x) = (x - y) (x + y) \Leftrightarrow (x - y) (3 x y + x + y) = 0$

Vì $x > 0, y > 0 \Rightarrow 3 x y + x + y > 0$

$\Rightarrow x = y$ .

Với x=y thay vào (1) ta được: $3 x^{3} - x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (3 x^{2} + 2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).

Câu 3