Tính giá trị của biểu thức M=a2+b2 biết a, b thỏa mãn: 3a2b2+1b3=13b2a2+2a3=1.

Giải chi tiết Điều kiện xác định: a≠0; b≠0. Ta có: 3a2b2+1b3=13b2a2+1a3=1⇔3a2b+1=b33ab2+2=a3⇔b3−3a2b=1a3−3ab2=2⇔b3−3a2b2=1a3−3ab22=4 Cộng từng vế của hai phương trình ta được: b6−6a2b4+9a4b2+a6−6a4b2+9a2b4=5 ⇔b6+3a2b4+3a4b2+a6=5⇔a2+b23=5 ⇒a2+b2=53 Vậy M=53.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,290

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2} + b^{2}$ biết a, b thỏa mãn: $\{\begin{cases} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}} = 1 \end{cases}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $a \neq 0; b \neq 0$ .

Ta có: $\{\begin{cases} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{1}{a^{3}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a^{2} b + 1 = b^{3} \\ 3 a b^{2} + 2 = a^{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{3} - 3 a^{2} b = 1 \\ a^{3} - 3 a b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(b^{3} - 3 a^{2} b)}^{2} = 1 \\ {(a^{3} - 3 a b^{2})}^{2} = 4 \end{cases}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$(b^{6} - 6 a^{2} b^{4} + 9 a^{4} b^{2}) + (a^{6} - 6 a^{4} b^{2} + 9 a^{2} b^{4}) = 5$

$\Leftrightarrow b^{6} + 3 a^{2} b^{4} + 3 a^{4} b^{2} + a^{6} = 5 \Leftrightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{3} = 5$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = \sqrt[3]{5}$

Vậy $M = \sqrt[3]{5}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - P = 3 \\ S = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ 4 - P = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ P = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - 2 X + 1 = 0 \Leftrightarrow {(X - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow X = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 1)$ .

Câu 2

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Giải chi tiết

Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có $\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x y^{2} = x^{2} + 2 (1) \\ 3 y x^{2} = y^{2} + 2 (2) \end{cases}$ .

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

$3 x y^{2} - 3 y x^{2} = x^{2} - y^{2} \Leftrightarrow 3 x y (y - x) = (x - y) (x + y) \Leftrightarrow (x - y) (3 x y + x + y) = 0$

Vì $x > 0, y > 0 \Rightarrow 3 x y + x + y > 0$

$\Rightarrow x = y$ .

Với x=y thay vào (1) ta được: $3 x^{3} - x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (3 x^{2} + 2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).

Câu 3