Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN là tam giác cân.

b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân.

Trong tam giác ABC, đường phân giác của  $\widehat{BAC}$ cắt cạnh BC tại D. Giả sử (T) là đường tròn tiếp xúc với BC tại  và đi qua điểm D. Gọi M là giao điểm thứ hai của (T) và AC, P là giao điểm thứ hai của (T) và BM, E là giao điểm của AP và BC.

a) Chứng minh rằng  $\widehat{EAB}=\widehat{MBC}$.

Cho bốn điểm A,D,C,B theo thứ tự đó nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B trên đường thẳng CDA. Tia AD cắt tia BC tại I. Biết  $AE+BF=R\sqrt{3}$.

a) Tính số đo  $\widehat{AIB}$.

b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K. Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và N. Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên cung nhỏ CD.

b) Chứng minh hệ thức  $B{E}^2=EP.EA$.

c) Tứ giác AMIN là hình thoi.