b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K. Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và N. Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên cung nhỏ CD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 4: Góc và đường tròn có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Ta có: $\hat{M K N} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \hat{K M N} + \hat{K N M} = 90 °$ . (1)

Trong tam giác vuông EMA có: $\hat{E A M} + \hat{E M A} = 90 °$ . (2)

Mà $\hat{K M N} = \hat{E M A}$ (đối đỉnh); $\hat{K M N} = \hat{B N F}$ (đối đỉnh). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{E A M} = \hat{B N F}$ .

Xét $Δ A E M$ và $Δ N F B$ có: $\hat{A E M} = \hat{B F C} = 90 °$ (giả thiết)

$\hat{E A M} = \hat{B N F}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow Δ A E M ~ Δ N F B (g.g) \Rightarrow \frac{E M}{F B} = \frac{A E}{N F} \Rightarrow E M . N F = A E . B F$ (không đổi).

Lại có: $M N = E F - (E M + N F)$ .

Do đó MN lớn nhất khi và chỉ khi EM+NF nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $E M + N F \geq 2 \sqrt{E M . N F} = 2 \sqrt{A E . B F}$ .

Đẳng thức xảy ra khi $E M = F N = \sqrt{A E . B F}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng $E F - 2 \sqrt{A E . B F}$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

b) Tứ giác DECB là hình thang cân

$\Leftrightarrow D E C B$ là hình thang và $\hat{C} = \hat{B}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} D E // B C \\ \hat{C} = \hat{B} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \hat{A D E} = \hat{A B C} \\ \hat{C} = \hat{B} \end{cases} \Leftrightarrow \hat{C} = \hat{B} \Leftrightarrow Δ A B C$ cân tại A.

Vậy tam giác ABC phải là tam giác cân tại A thì tứ giác DECB là hình thang cân.

Câu 2

Trong tam giác ABC, đường phân giác của $\hat{B A C}$ cắt cạnh BC tại D. Giả sử (T) là đường tròn tiếp xúc với BC tại và đi qua điểm D. Gọi M là giao điểm thứ hai của (T) và AC, P là giao điểm thứ hai của (T) và BM, E là giao điểm của AP và BC.

a) Chứng minh rằng $\hat{E A B} = \hat{M B C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi N là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn (T).

Do AD là phân giác của $\hat{B A C} \Rightarrow \overset{⏜}{N D} = \overset{⏜}{M D}$ .

Ta có $\hat{M B C} = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{D M} - s đ \overset{⏜}{D P}) = \frac{1}{2} (s đ \overset{⏜}{D N} - s đ \overset{⏜}{D P}) = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{N P} = \hat{E A N}$ .