Dạng 4: Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn có đáp án

a) Ta thấy  $\widehat{ADK}$ là góc có đỉnh D nằm trong đường tròn  $\left(O\right)$ nên:

     $\widehat{ADK}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AK}+sđ\stackrel{⏜}{IB}\right)=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AI}+sđ\stackrel{⏜}{IB}\right)=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}$.       (1)

Mà  $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung  $\stackrel{⏜}{AB}$ nên:  $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{ADK}=\widehat{ACB}$.

b) Tứ giác DECB là hình thang cân

 $\iff DECB$ là hình thang và  $\widehat{C}=\widehat{B}$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}DE\text{//}BC\\ \widehat{C}=\widehat{B}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\\ \widehat{C}=\widehat{B}\end{array}\right.\iff \widehat{C}=\widehat{B}\iff \Delta ABC$ cân tại A.

Vậy tam giác ABC phải là tam giác cân tại A thì tứ giác DECB là hình thang cân.

a) Theo giả thiết BD là tia phân giác của góc  $\widehat{ABC}$ nên D là điểm chính giữa của cung  $\stackrel{⏜}{AC}\Rightarrow \stackrel{⏜}{DA}=\stackrel{⏜}{DC}$.                              (1)

Tương tự ta cũng có E là điểm chính giữa của cung  $\stackrel{⏜}{AB}$

 $\Rightarrow \stackrel{⏜}{EA}=\stackrel{⏜}{EB}$.                                                   (2)

Góc  $\widehat{AMN}$ và  $\widehat{ANM}$ là hai góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) nên:

 $sđ\widehat{AMN}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AD}+sđ\stackrel{⏜}{EB}\right)$ và  $sđ\widehat{ANM}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{DC}+sđ\stackrel{⏜}{EA}\right)$. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A.

b) Ta có  $\widehat{EAI}=\widehat{EAB}+\widehat{BAI};\widehat{AIE}=\widehat{ICA}+\widehat{IAC}$ (góc ngoài của tam giác AIC).  (4)

 $\widehat{EAB}=\widehat{ECA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau là  $\stackrel{⏜}{EB},\stackrel{⏜}{EA}$).      (5)

Vì I giao điểm hai đường phân giác của  $\Delta ABC$, suy ra AI là đường phân giác của góc  $\widehat{BAC}$

 $\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{CAI}$.                                                                           (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra  $\widehat{EAI}=\widehat{EIA}\Rightarrow \Delta EAI$ cân tại E.

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có  $\widehat{IAD}=\widehat{AID}\Rightarrow \Delta AID$ cân tại D.

c) Vì AI là đường phân giác của  $\Delta AMN$ cân tại A nên AI vuông góc với MN tại trung điểm của MN.

Tương tự,  $\Delta DAI$ cân tại D nên MN vuông góc với AI tại trung điểm của AI.

Do đó AMIN là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

a) Gọi N là giao điểm thứ hai của AB với đường tròn (T).

Do AD là phân giác của  $\widehat{BAC}\Rightarrow \stackrel{⏜}{ND}=\stackrel{⏜}{MD}$.

Ta có  $\widehat{MBC}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{DM}-sđ\stackrel{⏜}{DP}\right)=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{DN}-sđ\stackrel{⏜}{DP}\right)=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{NP}=\widehat{EAN}$.

 $\Rightarrow \widehat{MBC}=\widehat{EAB}$ (đpcm).