Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy các điểm I và K sao cho  $\stackrel{⏜}{IA}=\stackrel{⏜}{AK}$. Dây IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.

a) Chứng minh rằng  $\widehat{ADK}=\widehat{ACB}$.

b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân.

Trong tam giác ABC, đường phân giác của  $\widehat{BAC}$ cắt cạnh BC tại D. Giả sử (T) là đường tròn tiếp xúc với BC tại  và đi qua điểm D. Gọi M là giao điểm thứ hai của (T) và AC, P là giao điểm thứ hai của (T) và BM, E là giao điểm của AP và BC.

a) Chứng minh rằng  $\widehat{EAB}=\widehat{MBC}$.

Cho bốn điểm A,D,C,B theo thứ tự đó nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B trên đường thẳng CDA. Tia AD cắt tia BC tại I. Biết  $AE+BF=R\sqrt{3}$.

a) Tính số đo  $\widehat{AIB}$.

b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K. Gọi giao điểm của KA,KB với DC lần lượt là M và N. Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên cung nhỏ CD.

b) Chứng minh hệ thức  $B{E}^2=EP.EA$.

c) Tứ giác AMIN là hình thoi.

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN là tam giác cân.