Cho tam giác ABC ( AB< AC ) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

b, $x^2-2mx+m^2-m+1=0$

$\Delta \text{'}=m^2-\left(m^2-m+1\right)\ge 0\iff m\ge 1$

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=m^2-m+1\\ x_1+x_2=2m\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}{x}_2^3-2x_1^3+6m{x}_1=19\\ \iff x_2^3-2x_1^3+3x_1.2m-19=0\\ \iff x_2^3-2x_1^3+3x_1\left(x_1+x_2\right)-19=0\\ \iff x_2^3-2x_1^3+3x_1^2+3x_1{x}_2-19=0\\ \iff x_2^3+x_1^3+3x_1{x}_2-19=0\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)+3x_1{x}_2-19=0\\ \iff {\left(2m\right)}^3-3.2m.\left(m^2-m+1\right)+3\left(m^2-m+1\right)-19=0\end{array}$

$\iff 2m^3+9m^2-9m-16=0\iff m=-1$(thỏa)

Vậy m= -1 

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc} (a,c\in N*,b\in \mathbb{N})$

Theo đề bài ta có:

+)Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là $14\Rightarrow a+c=14\Rightarrow a=14-c\left(1\right)$

+)Chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị $\Rightarrow b=c-1 \left(2\right)$

Khi viết ngược số ban đầu ta được số mới có dạng $\overline{cba}$

Ta có số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396

$\begin{array}{l}\overline{abc}-\overline{cba}=396\\ \iff 100a+10b+c-100c-10b-a=396\\ \iff 100a-100c+c-a=396\\ \iff 99(a-c)=396\iff a-c=4\\ \iff 14-c-c=4\iff 2c=10\\ \iff c=5\left(tm\right)\Rightarrow a=14-5=9\left(tm\right)\\ \left(2\right)\iff b=c-1=5-1=4\left(tm\right)\end{array}$

Vậy số cần tìm là 945