Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai  trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (– 1; – 4), (0; 3) và (1; –14);

a) Theo đề bài:

Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (– 1; – 4) nên –4 = a – b + c (1)

Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (0; 3) nên 3 = c (2)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (1; – 14) nên –14 = a + b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có:

 $\left\{\begin{array}{l}\text{a}-\text{b}=-7\\ \text{a}+\text{b}=-17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2a=-24\\ \text{a}+\text{b}=-17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-12\\ -12+\text{b}=-17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-12\\ \text{b}=-5\end{array}\right.$

Vậy f (x) = –12x² – 5x + 3.

Xét f ( x ) = –12x² – 5x + 3 có ∆ = (– 5)² – 4.(–12).3 = 169 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x₁ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}=\frac{5+\sqrt{169}}{-12.2}=\frac{-3}{4}$

x₂ =$\frac{-\text{b }-\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}=\frac{5-\sqrt{169}}{-12.2}=\frac{1}{3}$.

Như vậy, f (x) có a = –12 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x₁ = –$\frac{3}{4}$ , x₂ = $\frac{1}{3}$ nên:

f (x) dương trong khoảng ( –$\frac{3}{4}$ ; $\frac{1}{3}$).

f (x) âm trong khoảng (–$\infty$ ; – $\frac{3}{4}$) và ($\frac{1}{3}$ ; + $\infty$).