Cho tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}=60°$ , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;

a) Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBA}=90°-\widehat{CAB}=90°-60°=30°$ .

Tam giác EBK vuông tại K có $\widehat{KEB}+\widehat{KBE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{KEB}=90°-\widehat{KBE}=90°-30°=60°$ .

• Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}.60°=30°$ .

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CEA}=90°-\widehat{CAE}=90°-30°=60°$

Do đó $\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60°$  (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$  (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

• Ta có $\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180°$  (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180°$

Suy ra $\widehat{KEA}=180°-\widehat{KEB}-\widehat{BED}=180°-60°-60°=60°$ .

Do đó $\widehat{KEA}=\widehat{KEB}$  (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.