Giải SBT Toán 7 CD Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác có đáp án

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.

Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.

• Xét ∆BNE và ∆BME có:

$\widehat{\text{BNE}}=\widehat{BME}\left(=90°\right)$ ,

EN = EM (giả thiết),

BE là cạnh chung.

Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{NBE}}=\widehat{MBE}$  (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.

Do đó phát biểu a là sai.

• Do AB < AC nên $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$  (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Khi đó  $\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}<\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{ECB}.$

Do đó phát biểu b là sai.

• Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{\text{BAE}}=\widehat{CAE}$

Xét DANE và DAPE có:

$\widehat{\text{ANE}}=\widehat{APE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{\text{NAE}}=\widehat{PAE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).

Mà EN = EM (giả thiết).

Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:

$\widehat{CPE}=\widehat{CME}\left(=90°\right)$,

EP = EM (chứng mình trên),

CE là cạnh chung.

Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{PCE}}=\widehat{MCE}$  (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.

Do đó phát biểu d là đúng.

• Xét DABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$  nên $3\widehat{BAC}=180°$.     

Suy ra $\widehat{BAC}=\frac{180°}{3}=60°$

Xét tam giác ABC có hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K

Nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra  $\widehat{KAB}=\widehat{KAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{60°}{2}=30°$

Do đó phát biểu a là đúng.