Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$  . Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

a) Số đo góc KAC bằng 30°.

a) Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBA}=90°-\widehat{CAB}=90°-60°=30°$ .

Tam giác EBK vuông tại K có $\widehat{KEB}+\widehat{KBE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{KEB}=90°-\widehat{KBE}=90°-30°=60°$ .

• Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}.60°=30°$ .

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90°$  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CEA}=90°-\widehat{CAE}=90°-30°=60°$

Do đó $\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60°$  (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$  (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

• Ta có $\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180°$  (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180°$

Suy ra $\widehat{KEA}=180°-\widehat{KEB}-\widehat{BED}=180°-60°-60°=60°$ .

Do đó $\widehat{KEA}=\widehat{KEB}$  (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên $\widehat{AEI}=\widehat{IEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}$ .

Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên $\widehat{BFI}=\widehat{IFE}=\frac{1}{2}\widehat{BFE}$ .

Vì a // b nên $\widehat{aEF}+\widehat{bFE}=180°$  (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{IEF}+\widehat{IFE}=\frac{\widehat{aEF}+\widehat{bFE}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$ .

Xét DIEF có $\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}+\widehat{EIF}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra  $\widehat{EIF}=180°-\left(\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}\right)=180°-90°=90°.$

Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I.