Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

a) Chứng minh: GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.

a) • Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$ .

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = AB.

Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = AC.

Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.

Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.

Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra  $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$(hai góc tương ứng).

Xét ∆AEG và ∆ADG có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAG}=\widehat{DAG}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AG là cạnh chung

Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$  (hai góc tương ứng).

Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.

• Ta có $\widehat{BGM}=\widehat{AGD},\widehat{CGM}=\widehat{AGE}$  (các cặp góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$

Nên $\widehat{BGM}=\widehat{CGM}$

Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.

• Xét ∆AME và ∆AMD có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{E\text{A}M}=\widehat{DAM}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ ),

AM là cạnh chung,

Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AMD}$  (hai góc tương ứng)

Nên MA là tia phân giác của góc EMD.

Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.